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标题: 《几何画板(GSP)分形入门50例》 [打印本页]

作者: xiaongxp 时间: 2010-6-21 11:18 标题: 《几何画板(GSP)分形入门50例》

《几何画板(GSP)分形入门50例》下载地址：
http://pan.baidu.com/s/1pL0jzuj
图片.jpg

   内含画板分形工具包、扫描框文件、IFS分形生成平台、
教程及其所有范例源文件、图片，以及本帖所有其他分形源文件
                           目录
   例01．简单向前生成元格式的LS分形
   例02．左右生成元混合格式的LS分形
   例03．分枝结构的进退格式的LS分形
   例04．Koch曲线及LS雪花
   例05．二维IFS分形确定性算法(一)
   例06．二维IFS分形确定性算法(二)
   例07．二维IFS分形确定性算法(三)
   例08．带概率的IFSP分形(一)
   例09．带概率的IFSP分形(二)
   例10．IFS码的提取和植物的拟态
   例11．反函数迭代(逆迭代)法IFS分形(一)
   例12．反函数迭代(逆迭代)法IFS分形(二)
   例13．LS分形的球面化处理
   例14．Weierstrass函数的球面化处理
   例15．IFS分形的反演处理
   例16．Apollony分形
   例17．圆的极限集分形(一)
   例18．圆的极限集分形(二)
   例19．圆的极限集分形(三)
   例20．圆的极限集分形(四)
   例21．复分形逃逸时间算法
   例22．Julia集和Mandelbrot集的RGB着色与内外部修饰
   例23．Julia集和Mandelbrot集的特效处理
   例24．复分形的等et线作法
   例25．复分形的拟3D-et作法
   例26．免工具复分形的逃逸时间作法与分形局部放大
   例27．复分形的球面化处理
   例28．通过变换迭代格式绘制点生成特效分形
   例29．复分形的边界扫描技术——距离估计(DEM)方法
   例30．复分形拟3D-dist作法与圆等高线3D-dist作法
   例31．分形万花筒
   例32．分形局部连续放大同步扫描
   例33．分形浮雕效果
   例34．分形外部的三角形不等式着色方法
   例35．Newton分形
   例36．Newton分形的特效处理
   例37．实数分形之Mira分形
   例38．LS和IFS分形的内迭代扫描算法
   例39．圆的极限集的内迭代扫描算法
   例40．LS和IFS分形的外迭代扫描算法
   例41．J\M集的点陷阱扫描算法
   例42．实分形的点陷阱外迭代扫描算法
   例43．圆的极限集的多点陷阱外迭代扫描算法(一)
   例44．圆的极限集的多点陷阱外迭代扫描算法(二)
   例45．圆的极限集的多点陷阱外迭代扫描算法(三)
   例46．分形的叠加与镶嵌
   例47．Escher_Julia盘
   例48．双曲对称极限圆(Poincar盘)
   例49．Hilbert填充曲线
   例50．实分形的旋转迭代扫描算法

图片附件: 图片.jpg (2015-9-5 11:56, 15.65 KB) / 下载次数 4175
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=24628&k=6332212d02003cfcb0f6c550d3412c51&t=1759919605&sid=ZCb888

作者: 柳烟 时间: 2010-6-21 13:26

我原来对分形完全是白痴，一个偶然的机会，撞进了这个论坛，跟着用画板玩分形的先驱们学了几个月，加上老师们的无私指导，总算对分形有了初步的实践与体会，并爱上分形，觉得分形这玩意确实魅力无穷，这段时间基本空余时间都在把玩这分形，分形这条路上，长满了荆棘，同时也开着鲜花，既艰难，同时又给人带来希望与惊喜。但愿分形的朋友越来越多，大家共同开发用画板玩分形这块处女地，共同谱写分形的华章，迎接画板玩分形的美好明天。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-6-21 22:50

不遗余力普及分形，感动中。

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-21 14:23

今天翻到此贴，感触颇多。自xuefeiyang老师开讲《粗论分形》以来，时间已近300天了，吸引了一批志同道合的老师，把画板分形推向了一个全新的高度。胡兄的绘图框架和色带，梅兄的起泡技术，常老师的等高线和彩带，榕老师和柳老师对UF的研究，以及ljwxhlzp老师猛然间抛出的惊人之作，丰富了画板分形的技术和内容。现mjj老师又在其纪念Mandelbrot逝世的专贴中开始了对画板分形的理论思考，可以预期，关于画板分形的理论与实践的研究，将在本坛结成丰硕成果。
但是，曲高和寡，随着画板分形研究的深入和技术的提高，分形版块的点击率并没有随着论坛注册人数的增加而提高多少，经常参与回帖也就几位老师，画板分形实际上成为了极少数人的“游戏”，甚至上传的分形源文件也少有人问津了。说实在的，从我开始在求师得零零星星学习zxna、zxb、xuefeiyang、mjj的源文件，到后来得到xuefeiyang的亲自指导，再到本坛的研究学习，也有好几个年头了，但现在我也开始读不懂源文件了，所以旁观者多而实践者少就可以理解了。这段时间我常在电脑前思考这个问题：我们在技术上成就自己的同时，是不是要为画板分形在广大老师中得到普及，再通过老师们把分形的种子播撒给学生，让我国未来的数学在新兴数学领域占领新的高峰作点什么呢（杞人忧天）？

作者: 榕坚 时间: 2010-11-21 14:52

4# xiaongxp

分形这东西乃数学与艺术的结合体，凡艺术这东西都讲求个“缘”字，强求不得，我想还是一切随缘吧。

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-21 15:06

新集成的画板分形常用工具箱：
①运算工具 ②变换工具 ③着色工具 ④ISFP区间工具
其中迭代格式工具基于复数的实部和虚部（一线天老师收集的复数的工具基于复平面上的点），这样没有中间结果的绘制点，一定程度上可以提高扫描速度。
2011年5月11日更新，新增了最小版反演工具和仿射变换工具

附件: [此为早期版本，已停止更新。需最新版本者，请到1楼链接处下载] 画板分形常用工具箱.rar (2011-5-17 22:11, 21.49 KB) / 下载次数 5962
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8406&k=1730442156bcd97fc61d79c925c7498d&t=1759919605&sid=ZCb888

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-21 15:27

推荐两个好用的扫描框架（原创：xuefeiyang）
2011年02月15日更新，感谢mjj指正双坐标系问题

0复分形扫描框架【可调小扫描线】.gsp (11.77 KB)

0复分形扫描框架【缩放预览取景】.gsp (14.81 KB)

5月12日分享IFS代码分形生成平台：

00.3-IFS分形生成平台1.gsp (24.97 KB)

00.3-IFS分形生成平台2.gsp (24.63 KB)

00.3-IFS分形生成平台3.gsp (15.47 KB)

附件: 0复分形扫描框架【可调小扫描线】.gsp (2011-2-15 07:20, 11.77 KB) / 下载次数 7219
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8407&k=54cc35d532655d3be2257aa0c7cebe71&t=1759919605&sid=ZCb888

附件: 0复分形扫描框架【缩放预览取景】.gsp (2011-2-15 07:20, 14.81 KB) / 下载次数 7253
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8408&k=9a43c02a84697e7066827c4baf74a8c4&t=1759919605&sid=ZCb888

附件: 00.3-IFS分形生成平台1.gsp (2011-5-17 22:10, 24.97 KB) / 下载次数 6801
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=12037&k=c898197c06b249beb9105661ea9f0c99&t=1759919605&sid=ZCb888

附件: 00.3-IFS分形生成平台2.gsp (2011-5-17 22:10, 24.63 KB) / 下载次数 6695
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=12039&k=98ea0845b315ffb1e91740dc676fec1f&t=1759919605&sid=ZCb888

附件: 00.3-IFS分形生成平台3.gsp (2011-5-17 23:39, 15.47 KB) / 下载次数 6801
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=12060&k=5c0161de6f4d8bac6e9389b8145e957f&t=1759919605&sid=ZCb888

作者: 柳烟 时间: 2010-11-21 15:47

谢过向老师集成的工具，我收藏了。我这人天生疏懒，奉行拿来主义，呵。看了此帖，感慨良多。我从分形的白痴到现在对分形略知一二，象我这样数学丢得差不多了的人，能有一点进步，离不开此坛几位板友的热心帮忙，引路，提携，在此表示衷心的感谢。
我想，想学分形的人在我们的大张旗鼓的倡导下，应该说想加入此队伍的人不少，因为分形自诞生以来，就以其引人入胜的独特魅力，迷倒不少人。有些人进来后，觉得这玩意深不可测，学着学着又退转者有之（本人也有过打退堂鼓），望而却步，这缘于分形需要一定的数学基础；二来，需要一定的画板技术水平（如熟练掌握迭代等等）；三者，到此板块游历的人们，看到大师们精妙之作，除了赞叹外，难以入门，这不能不说是此板兴旺不来的重要原因。
我个人认为，胡老师的粗论分形虽说是分形入门者的首选教材，进入那大帖的人，自已钻研，无人引导，也是一个问题。再看，摆在坛子上的新近之作，图片居多，无源文件，再则，即使有原文件，初学者解读起来，如读天书，懂不了。我在想，我们能不能发扬宗教家一心为众生的精神，开设一个菜鸟学分形的园地，对用画板玩分形进行初级的具体例子的指导，通过视频，讲解等，调动菜鸟眼耳手齐用，以达到快速引导其入门的目的，以此作为胡老师粗论分形配套用的教材。就拿我来说，目前主要是玩复分形，对IFS分形，虽说此板源文件不少，一来由于业余时间有限，好多时间都是挤出来的，甚至熬夜；二来觉得解读别人的源文件，确实是颇为费力的事，若有人讲解，或者视频一下，很快就懂了。我学习复分形近一年来的况味，我想此板大多板友都经历过，我此点建议，若能为此板繁荣作些许之力，能为后继分形者缩短分形的求学之路，不再重新走我辈走过的路，很快成长为分形高手，甚至超越我辈，未尝不是一件值得夸耀的事呢？若能于此，我愿已足。再次问好板友们。

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-23 14:35

往下我将通过系列练习，介绍一些常见经典分形的画板实现方法，内容包括：L-system、IFS、圆极限集、Mandelbrot集、Julia集、Newton分形、Mira分形。该系列完成后，我将本系列练习的手稿制成PDF文件置于本贴顶楼，分享与喜爱分形的朋友们。

练习1. 逆迭代圆IFS-Julia集的画板实现：
1. 从“画板分形常用工具箱”调用减法工具求z-c(实部和虚部)；
2. 将k值改为0.5，用z^k工具求(z-c)^0.5，绘制对应点A；
3. 从数据菜单计算-(z-c)^0.5，并绘制对应点B；
4. 自定义变换1：z→A，变换2：z→B，隐藏A、B；
5. 用圆工具画圆及其内部，标记圆心为C、圆上点为D；
6. 分别用自定义变换1、2作C、D的变换点C'、D'，C''、D''；
7. 度量zC、zC'，zC"依次作为RGB对圆内部着色，改圆为细线、白色；
8. 改n=5，作C→C'→C''，D→D'→D''，深度为n的迭代；得分形。
9. 将圆心C拖至原点，适当增大n值(<13)，拖动点c改变分形的形状，拖动点D改变圆覆盖状态，拖动点z调整分形的色彩，直到满意为止(如图)。

图片附件: 逆迭代圆Julia集.jpg (2010-11-23 14:35, 59.52 KB) / 下载次数 3857
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8440&k=7983185f432c427b7baa0db3651efa6e&t=1759919605&sid=ZCb888

附件: 逆迭代圆Julia集范例及作图方法练习.gsp (2010-11-23 14:58, 15.39 KB) / 下载次数 5698
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8441&k=0ef63fbf04798d9b524cbbdbc8b7c698&t=1759919605&sid=ZCb888

作者: 柳烟 时间: 2010-11-23 17:10

漂亮！下载学习。我记得似在一本书中看到逆迭代法造J集，还没具体实践，向老师雪中送炭，谢过并问好向老师

作者: inRm 时间: 2010-11-23 20:10

9# xiaongxp
精美之作。

作者: 柳烟 时间: 2010-11-23 23:18

交一份作业在此，向老师指正。着色不太周正。

Untitled 1.gsp (6.64 KB)

图片附件: 未命名.JPG (2010-11-23 23:18, 21.66 KB) / 下载次数 5727
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8456&k=1464a59f8ceb929c955c6e81cfe812b0&t=1759919605&sid=ZCb888

附件: Untitled 1.gsp (2010-11-23 23:18, 6.64 KB) / 下载次数 7451
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8457&k=0303fbbdb9a8b211f87fb03cedfd9e3d&t=1759919605&sid=ZCb888

作者: 榕坚 时间: 2010-11-24 19:45

9# xiaongxp

挺有趣的：

图片附件: QQ截图未命名.jpg (2010-11-24 19:45, 44.47 KB) / 下载次数 5192
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8466&k=851af5b8cdeea0c7b959614308195687&t=1759919605&sid=ZCb888

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-24 20:48

12# 柳烟
研究了柳老师的文件，没发现算理上有什么问题，只是复角的主值范围应为[0，2π)，但这不影响分形的边界。这种圆的逆迭代分形，以迭代圆的包络线来反映分形的边界，圆的大小要有较好的可控性，我也不明白为什么用复数运算的三角形式就会使迭代圆一致放大或缩小，用代数运算不存在这样的问题。

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-24 20:50

14# 榕坚
的确挺有趣

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-26 22:24

6#工具箱已更新，订正了两处错误。

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-26 22:28

练习2.简单进退格式的L分形的制作方法
L-system源于模拟植物形态和生长，是一种重要的分形生成方法。它是由若干符号组成的语言指令系统，交由计算机自动执行。而用画板实现其中一些较简单的分形，我们可以将L-system分形的几个要素简化成两个：初始元、生成元，以此为基础，“人脑+电脑”生成分形图案。
下面以L-五角繁星为例，介绍简单进退格式的L-分形的制作方法。
一、作生成元A-B：
先作点A、点B，由B按比0.618以A为中心缩放得B'，由A按比0.618以B为中心缩放得A'，以B'为中心按逆时针方向108°旋转B得B''，以B''为中心按逆时针方向108°旋转B'得B'''，顺次连接AA'B''B'B，以及B''B'''，作成生成元如图；
图片1.jpg

二、作初始元：
作圆的五等分点D、E、F、G、H；
三、生成元上执行一次迭代：
新建参数n,以此为深度，将生成元A-B依次映射到（即迭代到）A-A'、A'-B''、B"-B'、B'-B、B'''-B''，隐藏生成元和带撇号的点如图；
图片2.jpg

四、作五角繁星：
将生成元的一次迭代格式及n选中作成工具，再用此工具依次将一次迭代格式映射到初始元E-D、F-E、G-F、H-G、D-H，得五角繁星。
五、思考：
如何将五角繁星填充色彩如范例所示？
L-system-五角繁星.gif

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作者: 柳烟 时间: 2010-11-27 09:03

问问向老师，第三步，B'---B的迭代如何作？

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-27 09:35

柳老师忘了，这五角繁星比你的帖子《看分形书，用画板作分形画小系列》1#五角星只差一步B''-B"'的压缩，其余都一样。第三步就是将生成元A-B压缩到B'-B位置，即A→B'，B→B。

作者: 柳烟 时间: 2010-11-27 09:49

柳老师忘了，这五角繁星比你的帖子《看分形书，用画板作分形画小系列》1#五角星只差一步B''-B"'的压缩，其余都一样。第三步就是将生成元A-B压缩到B'-B位置，即A→B'，B→B。
xiaongxp 发表于 2010-11-27 09:35

懂了，谢谢。支持向老师，并学习。作一视频，方便大家。

17楼向老师的讲义讲得清清楚楚，明明白白，大家吃透讲义精神后，自已作出没问题了。现继续往下制成动画GIF，因发送文件时，字节数受到限制，所以重复制作的步骤，作了一步后，其余省略。

图片附件: 222.gif (2010-11-27 15:39, 143.49 KB) / 下载次数 6344
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8517&k=e0a30f619fe665902882a314f2bcd9c9&t=1759919605&sid=ZCb888

图片附件: 222.gif (2010-11-27 21:06, 148.82 KB) / 下载次数 6314
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8540&k=0f6044cf7b05de3bcc0d996e6d9aa6cd&t=1759919605&sid=ZCb888

作者: xuefeiyang 时间: 2010-11-27 11:36

正五边形的迭代也可以这样作：

正五边形.gsp (4.34 KB)

附件: 正五边形.gsp (2010-11-27 11:36, 4.34 KB) / 下载次数 4522
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=8511&k=db10ebfab59b59dbe0573ab40681906e&t=1759919605&sid=ZCb888

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-27 16:27

练习3. 带对称左右生成元格式的L分形的制作方法
前面通过对五角繁星的制作，我们介绍了简单进退格式的L-分形的制作方法。那么什么叫“进退格式”呢？按作画板L分形的经验，所谓进退，就是将生成元A-B按如图箭头的指向从A依次向前压缩（迭代）到生成元的各线段上，其中由B''到B'''后又后退到B''，再继续向前直到B，若保留虚线箭头B''到B'''的迭代，最后得到的是柳烟老师的专贴《看分形书，用画板作分形画小系列》１＃的分形Durer五边形，而去掉B''到B'''的迭代即得五角繁星。
图片4.jpg

L-分形中存在许多带左右格式的生成元的分形，如龙曲线、Hilbert曲线、线型Sierpinski三角等。下面借助线型Sierpinski三角的练习，介绍带对称左右格式生成元的L分形的迭代方法：
一、作初始元和生成元A-B：
如图，作两点A、B，以A为中心旋转B得B'(此点也可任取)，分别以A、B为中心，0.5为比缩放B'得B''、B'''，隐藏B'，顺次连接ＡＢ''Ｂ'''Ｂ，得初始元和左生成元（画板作L分形，对称右生成元效果可通过逆向压缩左生成元得到，所以可省去不作）；
图片5.jpg

二、生成元上执行一次迭代：
新建参数n，以ｎ为度在AB''上逆向压缩左生成元(即Ａ→B''，B→A),在B''B'''上压缩左生成元（即Ａ→B'', B→B'''），再在Ｂ'''Ｂ上逆向压缩左生成元；
三、隐藏初始元和各点，增大迭代次数n，得线型L-Sierpinski三角。
说明：由于分形集实际是n→∞时的极限集（即不动点），所以只与初始元和生成元的格式（代码）有关，而与生成元是点型、线型、多边形型、圆型等几何形式无关(将下面文件中n增大看看)，由此我们可以把生成元用三角形或圆等图形来表现，赋以斑斓的色彩。如前例，我的生成元分别用了线型和多边形内部，而xuefeiyang老师用了正五边形，正是用了多边形内部，第二个图才群星闪烁起来。

图片附件: 图片4.jpg (2010-11-27 16:27, 4.45 KB) / 下载次数 2343
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图片附件: 图片5.jpg (2010-11-27 16:27, 2.97 KB) / 下载次数 2359
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附件: L-Sierpinski三角.gsp (2010-11-27 16:27, 10.31 KB) / 下载次数 3549
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作者: xiaongxp 时间: 2010-11-27 16:32

20# 柳烟
谢谢柳老师。你制作时长这么久的视频文件怎么这样小，如何设置的？

作者: 柳烟 时间: 2010-11-27 18:11

23# xiaongxp
不久前我在帖子中问蚂蚁，才知这GIF动画是gifgifgif小软件制作，我基本按软件中的默认进行，只是把每秒播放的帧数设为2fps.文件大，用这软件不行。通常一个文件要作好几次，满意了，才发在坛子。制作中尽量避免误操作，并加快点击速度等等。不知还有无更好的减少制作文件的体积的方法。

作者: 柳烟 时间: 2010-11-27 20:16

21# xuefeiyang
又一种思路，学习。制成视频，方便板友。先制作好正五边形的五个顶点，备用。

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作者: xiaongxp 时间: 2010-11-27 23:34

24# 柳烟
谢谢解答。

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-27 23:38

练习4. 分枝结构的进退格式L分形的制作方法
L-system对植物结构的绘制，是L分形中最令人感兴趣的部分。前两种压缩形式是从一个起点到一个终点止的，而要模拟植物形态，就要有一个起点多个终点。所以L-system作为一种计算机符号指令系统，必须有一个指令符号，在画完一个分枝后，使计算机退回到主干再进入另一个分枝继续画图。而画板采样“人脑+电脑”的方法，这个转向过程却是轻而易举的事。下面以分形树的制作来介绍这一格式L-分形的制作方法：
一、作初始元、生成元：
作竖直线段AB，以A为中心，按比0.618缩放B为C，按向量CB平移B为D；以C为中心，按角度36°旋转B为B'，以B为中心，按角度-36°旋转D为D'，得初始元、生成元A-B如图
图片6.jpg

生成元A-B 分形树
二、将生成元A-B分别在A-C、C-B'、C-B、B-D、B-D'以参数n为深度执行一次迭代（最终迭代），隐藏生成元，增大参数n，得分形树。

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作者: xiaongxp 时间: 2010-11-28 00:03

前面用L-系统模拟植物形态还属于线性分形，所做的是保角的仿射变换，没能得到生动逼真的图形。要模拟出栩栩如生的植物形态，就要引入随机L-system或用迭代函数系统(IFS)。而随机L-system的画板实现，我们还没有找到有效的方法，也是我们努力的方向。下一个练习，就从IFS-Sierpinski三角开始。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-28 16:25

做这样的贴子是一件吃力不讨好的事情，下载学习，并致谢。

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-29 14:15

练习5. 二维IFS分形确定性算法的画板实现
   迭代函数系统(IFS)的理论与实践在分形几何中占有十分重要的地位。二维IFS分形实际就是复平面上的点集，在一组压缩仿射变换之下的像经反复迭代而产生的分形。
   下面以IFS-Sierpinski三角为例，介绍其原理和制作方法。
            图片8.jpg

      如图，Sierpinski三角由以下三个仿射变换确定：
W1．：（x，y）→（0.5x，0.5y），    （一次变换效果：△ABC→△ADF）
W2．：（x，y）→（0.5x+0.5，0.5y）（一次变换效果：△ABC→△DBE）
W3．：（x，y）→（0.5x，0.5y+0.5）（一次变换效果：△ABC→△FEC）
我们把系统{ W1 ，W2，W3}叫做一个迭代函数系统，将给定点集(复平面)反复施加这组仿射变换(迭代)就形成Sierpinski三角。具体作法如下：
一、构建三个仿射变换
   任作一点z，度量其横、纵坐标x、y，计算0.5x、0.5y、0.5x+0.5、0.5y+0.5，作点A（0.5x，0.5y）、B（0.5x+0.5，0.5y）、C（0.5x，0.5y+0.5）；
二、迭代成ISF分形
新建参数n，作z→A、z→B、z→C，深度为n的迭代(显示为“最终迭代”)，增大n，得ISF-Sierpinski三角。

下一个练习介绍几个常见的确定性IFS作法。

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作者: 柳烟 时间: 2010-11-29 14:51

谢过向老师，讲得通俗易懂。前不久正想学IFS，苦于无人讲，先下载文字与文件，认真学习。

IFS谢氏三角形作业.gsp (4.77 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2010-11-29 21:38

31# 柳烟
互相学习，共同提高。

作者: xiaongxp 时间: 2010-12-1 00:06

练习6. 二维IFS分形确定性算法的画板实现(续1)
现在来练习L-龙曲线和IFS-龙曲线的画板实现。如图
图片8.jpg

一、龙曲线的生成原理：
龙曲线由两个仿射变换确定：
W1：(x,y)→ (0.5x-0.5y,0.5x+0.5y)，即将左生成元ACB压缩到原来的2^0.5后再逆时针旋转45°，得折线AEC；
W2：(x,y)→ (-0.5x-0.5y+1,0.5x-0.5y)，即将左生成元ACB压缩到原来的2^0.5，再逆时针旋转135°，最后右移1单位得折线BFC。
二、L-龙曲线的制作方法：
1．作生成元A-B：A、B为独立点，∠ACB=90°如上图所示，隐藏点C；
2．作{A,B}→{ A,C}，{A,B}→{ B,C}，深度为n的迭代，显示为最终迭代，得L-龙曲线。
三、IFS-龙曲线的制作方法：
1．作点z，度量其坐标，作点w1(0.5x-0.5y,0.5x+0.5y)，w2 (-0.5x-0.5y+1,0.5x-0.5y)；
2．作z→w1，z→w2，深度为n的迭代显示为最终迭代，得IFS-龙曲线。

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作者: 柳烟 时间: 2010-12-1 10:12

练习龙曲线.gsp (6.59 KB)
IFS-龙

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作者: changxde 时间: 2010-12-1 15:20

L-龙.gsp (2.86 KB)

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作者: 榕坚 时间: 2010-12-1 21:36

能把龙曲线做成扫描版的吗？

作者: xiaongxp 时间: 2010-12-1 23:46

36# 榕坚
要把IFS用逃逸时间算法扫描出来，需要求出IFS的漂移动力系统，理论上是可行的，实际做起来困难，xuefeiyang老师在这方面做过努力，看来没能彻底解决。

作者: xiaongxp 时间: 2010-12-1 23:50

练习7. 二维IFS分形确定性算法的画板实现(续2)
图片10.jpg

上图所示分形叫花篮簇，它由5个仿射变换确定：
   W1：(x,y)→ (0.5x-0.134y, 0.134x+0.5y)，即A-B→A-C
   W2：(x,y)→ (0.5x+0.134y+0.5, -0.134x+0.5y+0.134)，即A-B→C-B
   W3：(x,y)→ (-0.1667x-0y+0.583, 0x-0.1667y+0.134)，即A-B→C'-C''
   W4：(x,y)→ (0.083x-0.229y+0.417,0.229x+0.083y+0.134)，即A-B→C''-D
   W5：(x,y)→ (0.083x+0.229y+0.5,-0.229x+0.083y+0.359)，即A-B→D-C'
                        图片11.jpg

一、L-花篮簇的制作方法：
1．作生成元：如下图，作线段AB，以B为中心将A沿顺时针方向旋转15°得A'，作线段AB的中垂线交A'B于C，以B为中心按比1/12缩放将A为A''，按向量A''B平移C为C'，按向量BA''平移C为C''，以C'为中心将C''沿顺时针方向旋转75°得C'''，射线C' C'''交AB的中垂线于D，将图形整理成如上图生成元。
图片12.jpg

3．作深度为n的最终迭代：A-B→A-C、A-B→C''-D、A-B→D-C'、A-B→C-B、A-B→C'-C''，增大n值得L-花篮簇。
二、IFS-花篮簇的制作方法：
1．作五点：w1 (0.5x-0.134y, 0.134x+0.5y)、
                  w2 (0.5x+0.134y+0.5, -0.134x+0.5y+0.134)、
                  w3 (-0.1667x-0y+0.583, 0x-0.1667y+0.134)、
                  w4 (0.083x-0.229y+0.417,0.229x+0.083y+0.134)、
                  w5 (0.083x+0.229y+0.5,-0.229x+0.083y+0.359)
   2．作z→w1、z→w2、z→w3、z→w4、z→w5深度为n的迭代显示为最终迭代，得IFS-花篮簇。

往后将开始IFS编码和随机IFS的练习了。

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作者: xiaongxp 时间: 2010-12-3 22:53

练习8. 带概率的IFSP-分形的画板实现(一)
前面练习2-7中，每一个二维仿射变换(x,y)→(ax+by+e, cx+dy+f)，都由a、b、c、d、e、f六个参数确定，把确定IFS-分形的各变换中的这六个参数列成一个表，即为IFS编码，以桧树分形小枝为例：
图片15.jpg

   如图，设每条线段长为0.34，水平线段AD长为1，AD与BC互相平分，AB、DC与AD的夹角为8°，BE与AD成45°，CF与AD成55°，作五个仿射变换，将主形A-D分别映射到这五小段上，其IFS码如下表：
         a             b          c          d          e    f       P
   W1  0.3367  -0.0473 0.0473 0.3367       0       0    0.2
   W2  0.2404  -0.2404 0.2404 0.2404 0.3367 0.0473    0.2
   W3  0.3266 0.0945  -0.0945 0.3266 0.3367 0.0473    0.2
   W4  0.1950 0.2785  -0.2785 0.1950 0.6633  -0.0473    0.2
   W5  0.3367  -0.0473 0.0473 0.3367 0.6633  -0.0473    0.2
其中最后一列P值为五个仿射变换在IFS-分形作用的概率。
下面来作IFS-桧树小枝：
一、作概率轴
            图片14.jpg

   如图，将线段AB五等分，等分点依次为C、D、E、F，在线段AB外任取一点P，调用“画板分形工具箱”中“左闭右开区间示性数”工具，作区间AC、CD、DE、EF的区间示性数m1~m4，调用“闭区间示性数”工具作区间FB的区间示性数m5；
二、作IFSP变换点w，其中初点为z(x,y)：
变换点横标：(0.3367x-0.0473y) m1+(0.2404x-0.2404y+0.3367) m2 +(0.3266x+0.0945y+0.3367) m3+(0.1950x+0.2785y+0.6633) m4 +(0.3367x-0.0473y+0.6633) m5
   变换点纵标：(0.0473x+0.3367y) m1+(0.2404x+0.2404y+0.0473) m2 +(-0.0945x+0.3266y+0.0473) m3 +(-0.2785x+0.1950y-0.0473) m4 +(0.0473x+0.3367y-0.0473) m5
三、迭代成分形
先将P合并到概率轴AB，作z→w，P→P，深度为n的随机迭代，显示为“完整迭代”，保存后变n=10000，得IFS-桧树小枝。
                图片16.jpg

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作者: 柳烟 时间: 2010-12-3 23:19

IFS花蓝簇练习.gsp (10.97 KB)

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作者: 柳烟 时间: 2010-12-4 00:51

Untitled 1.gsp (13.87 KB)
未命名.JPG

运用向老师包络线方法，假想一个复公式，用逆迭代法造作J集。用英文版的GSP制作。

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作者: 柳烟 时间: 2010-12-4 01:01

向老师，38楼的包络花蓝太好看了，我下载了你的原文件，正在看，不懂的地方，再向你请教。

作者: 柳烟 时间: 2010-12-4 09:29

今天造包络花蓝，有点问题，向老师帮忙看看。

练习包络花蓝.gsp (9.13 KB)

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作者: inRm 时间: 2010-12-4 09:44

41# 柳烟
这才叫神奇了。

作者: xiaongxp 时间: 2010-12-4 10:23

43# 柳烟
柳老师这么用心，一大早就干上了？
把迭代像的显示方式改为“完整迭代”就成了。

作者: 柳烟 时间: 2010-12-4 12:47

45# xiaongxp
改为完整迭代后，有进展，但是拖动z时，图形会变，可能还有问题，我再查查看。

作者: xiaongxp 时间: 2010-12-4 13:34

再检查发现你的变换有问题，从作五个自定义变换开始重做，就正常了。

作者: 柳烟 时间: 2010-12-4 16:31

小心重作一遍，正常了，谢过向老师。

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作者: xiaongxp 时间: 2010-12-4 22:43

练习9. 带概率的IFSP-分形的画板实现(二)
IFSP-分形蕨是随机迭代函数系统分形的经典范例，确定它的四个仿射变换分别由矩形W0映照成矩形W1(几乎为线段)、W2、W3、W4来定义(如图所示)：
IFSP-分形蕨.jpg

下面就以W1、W2、W3、W4来记这四个仿射变换，其IFS码为：
               a       b       c             d       e    f       P
   W1 0       0    0          0.16 0 -0.04 0.01
   W2 0.85    0.04 -0.04    0.85 0    1.60 0.85
   W3 0.20 -0.26    0.23    0.22 0    1.60 0.07
   W4 -0.15 0.28    0.26    0.24 0    0.44 0.07
   注意，IFSP-分形蕨的概率轴上各分点不是等分点，反映出分形蕨在各方向上生长的不均匀性，这样对蕨草的模拟更为逼真。
IFSP-分形蕨的作法仿练习8完成。
            图片18.jpg

另：在帖子《迭代函数系统IFS》里有形象逼真的IFS-分形树、摇曳不停的IFS-分形树与蕨的源文件，其IFS编码都附于文件中，下载后均可仿练习8作，以下不再赘述。

下一练习将开始非压缩仿射映射迭代函数系统IFS的练习，其中包括诱人的圆的极限集的绘制。

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作者: xiaongxp 时间: 2010-12-6 23:12

非仿射的压缩映射迭代函数系统IFS

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作者: 柳烟 时间: 2010-12-7 21:16

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作者: 柳烟 时间: 2010-12-7 21:49

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作者: czmmr1 时间: 2010-12-15 00:19

学习，谢谢！

作者: xiaongxp 时间: 2010-12-21 22:25

感谢柳老师指正“画板分形常用工具箱”中z^k的错误，现已在6#原位置更新。

作者: xiaongxp 时间: 2010-12-25 01:04

原位置再次更新了“画板分形常用工具箱”，新增了复数的模工具、辐角工具、距离工具、两个p示性数工具。

作者: xiaongxp 时间: 2010-12-27 00:02

练习10. 反函数迭代(逆迭代)法IFS-分形的画板实现
   分形具有局部与整体的自相似性，也就是说局部是整体的一个小复制品，只是在大小、位置和方向上有所不同而已；而数学中的仿射变换是一种线性变换，它正好具有把图形放大、缩小、旋转和平移的性质。因此，产生一个复制品就相当于对图形作一次压缩仿射变换。于是，从原则上说，任何分形图形都可以用一组压缩仿射变换来描述或生成。
   但是，如何求出分形的压缩仿射映射变换，提取其IFS码，这是分形几何学一直没有彻底解决的难题。然而对于一些较简单的整式或分式型迭代格式的分形，我们可以用反函数迭代法来构造其IFS分形，如练习1中“逆迭代圆IFS-Julia集”。下面再以“z→z^(7/4)+c“格式的分形为例，练习这种反函数迭代法的画板实现。
   反解z=w^(7/4)+c得w(m+1)=(z-c)^(4/7)*e^( i*2mπ/7)，其中m=0，1，…，6，从而得到函数迭代系统{W(m)：z→w(m)；m=1，2，…，7}。画板实现如下：
一、构造迭代格式：
   1．打开“复分形扫描线框架【可调小扫描线】”，删除点P、Q、T0、r、p0，将标题改为“逆迭代IFS： z^(7/4)+c→z”，改k的精确度为“十万分之一”，输入“4/7”；
   2．调用“画板分形常用工具箱”，先后用“z[1]－z[2]”工具和“z^k” 工具，计算出w1的横纵坐标，绘制点W1，并以坐标原点为中心，将W1递次逆时针旋转2π/7，得点W(m) ，m=2，3，…，7；
   3．度量出W(m)，m=1，2，…，7的横纵坐标后隐藏这些点；
二、构造随机变换点
   4．作七等分概率轴和点P，用“区间示性数”工具仿练习8构造示性数，m1~m7，计算变换点横纵坐标：
         未命名1.JPG

绘制变换点w；
三、迭代成分形
先将P合并到概率轴后，作z→w，P→P，深度为n的随机迭代，显示为“完整迭代”，保存后变n=50000，得IFS分形图（建议c=4.5）。
逆迭代IFS：z^(7∕4)+c→z.jpg

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作者: xiaongxp 时间: 2010-12-31 17:43

练习11. Apollony分形的画板实现
创建Apollony分形由三个相切的初始圆开始，第一步在三者间向内作一个公切圆，第二步又在其中任意三圆之间分别作三个公切圆，
图片1.jpg

……以此类推，经过n次重复(迭代)，得到Apollony分形：
图片3.jpg

   可以看出，Apollony分形呈现出三轴对称性，其中每一个圆都恰与周围三圆相切，我们可以将其看成是以其中任两圆为基圆将第三圆向内压缩而成，由此可知Apollony分形是由三个压缩变换(Moebius变换)生成，若分别以三点O1(1，sqrt(3))、O2(1，- sqrt(3))、O3(-sqrt(3) ，0)为圆心，sqrt(3)为半径的圆为三个初始圆，可以求出这三个压缩变换为：
               W1：w1=3(sqrt(3)+1-z)^-1-sqrt(3)+1
               W2：w2=w1·e^(i·2π÷3)
               W3：w2=w1·e^(-i·2π÷3)
下面构建这个分形。
一、构造迭代格式：
   1．打开“复分形扫描线框架【可调小扫描线】”，删除点P、Q、T0、r、k、p0，将标题改为“IFS-Apollony”；
   2．计算sqrt(3)+1-z横标和纵标，调用“画板分形常用工具箱”中“1/z”工具计算(sqrt(3)+1-z)^-1 ，分别双击其的横纵标编辑为w1=3(sqrt(3)+1-z)^-1-sqrt(3)+1的横纵标，绘制点w1，并以坐标原点为中心，将w1递次逆时针旋转2π/3，得点w2、w3。
二、迭代成分形
   作z→w1，z→w2，z→w3，深度为n的迭代，显示为“完整迭代”，保存后变n=10，得IFS- Apollony分形。

如果将Apollony分形以单位圆基圆施行三次反演变换，我们将看到一个更加美丽的分形——四圆极限集。下一次将开始练习圆的极限集的画板实现方法。

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作者: xiaongxp 时间: 2010-12-31 18:16

在原位置更新了“画板分形常用工具箱”和两个扫描框架，感兴趣的板友请自取，如在运用中发现有什么问题，请不吝指正。
在新年来临之际，祝本坛全体朋友们身体健康、事事如意，祝【画板论坛】来年更加红火，坛友千千万！

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-1 17:11

用圆作最终迭代的IFS-Apollony分形，能更好的反映圆的压缩过程。
圆的最终迭代：

圆的完整迭代：

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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-2 17:38

练习12. 圆的极限集分形的画板实现(1)
   接练习11，我们来作Apollony分形及其以单位圆为基圆施行三次反演变换，所得的四圆极限集。这里，我们练习一个新的实用技术——用Moebius变换构建圆的极限集的方法。
一、构造迭代格式：
   1．作出四个基圆，其中三个圆为等圆且两两相切，第四圆外切于前三圆，如图所示(为使所作分形的结构可变，我们以一点一线段作圆，将四圆拼成相切。)：
               图片1.GIF

   2．先在空白处任取一点z，再调用“画板分形常用工具箱”中“Moebius变换1”工具，依次匹配圆A、点z，得点A1；同法作点B1、C1、D1。
   到此我们可作z→A1，z→B1，z→C1，z→D1深度为n=6的迭代，保存就得到Apollony四圆极限集了。这是一个确定性分形，增大n才会使图形更细腻，但增大n会使计算机速度减慢，甚至死机。我们还是作随机分形。
   3．分别度量A1、B1、C1、D1的横纵坐标。
二、构造随机变换点
   作四等分概率轴和点P，用“区间示性数”工具仿练习8构造示性数，m1~m4，计算变换点横纵坐标：
                   图片2.jpg

绘制变换点w。
三、迭代成分形
   先将P合并到概率轴后，作z→w，P→P，深度为n的随机迭代，显示为“完整迭代”，保存后变n=1000，并调好各区间上的概率，使图形棱角更分明，再使n=50000，得IFSP-Apollony四圆极限集分形图。
            图片4.GIF

下面文件更新了，增加了圆迭代，速度有点慢

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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-8 21:04

练习13. 圆的极限集分形的画板实现(2)
接下来我们练习圆的逆极限集的构造。先观察下图，它有四个基圆，分别成左右、内外反演对称，它是由左右两等圆及上下两圆间的两对互逆的Moebius变换迭代而成，其中(A，B，C) ↔(A'，B'，C')、(B，B'，D') ↔(C，C'，D)，我们可选用“画板分形采用工具箱”中“Moebius变换2”工具来完成分形的绘制。
IFS-4 circles limit set.jpg

一、构造迭代格式：
1．仿上图作基圆，其中D、D'分别是圆上的点，其余各点为切点(如下图)；
图片1.jpg

   2．在空白处任取一点z，再调用“画板分形常用工具箱”中“Moebius变换２”工具，依次按(A，B，C)→(A'，B'，C')匹配各点得点w1，按(A'，B'，C')→(A，B，C)得w2，按(B，B'，D') →(C，C'，D)得w3，按(C，C'，D) →(B，B'，D')得w3。
二、构造随机变换点：
   作四等分概率轴和点P，求区间示性数，计算变换点w横纵坐标：
                  图片2.jpg

绘制变换点w。
三、迭代成分形：
   合并P到概率轴，作z→w，P→P，深度为n=1000的随机迭代，显示为“完整迭代”，保存后调好各区间上的概率，再改n=100000，得IFSP四圆逆极限集分形图。

   此文件中除点w外都可调，以改变分形结构，但注意先变n=1000后再调。

   IFS分形大量源文件请看帖子【迭代函数系统IFS】。下一个练习开始复分形的画板实现。

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作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-9 14:04

周帮主这种系统化的教程贴做到这里应加精了，做这样的贴子很累人的，精神鼓励一下。

作者: 柳烟 时间: 2011-1-9 14:38

向老师这大帖，很吸引我，只因这段时间忙，暂时顾不上，等忙过了，我定要好好学习操练这里的每个例子。做这种帖子，确实不易，先谢谢向老师。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-16 00:47

练习14. 经典Julia集和Mandelbrot集的逃逸时间算法的画板实现
设f是一个复压缩变换，f向前迭代变换f^n定义为：
      f^0(z)=z，f^1(z)=z，…，f ^t+1(z)= f ^t(z)，…，
设正实数r为阈半径，以正整数n为最大迭代次数，z为扫描框内的点。当时间t(迭代次数)≤n-1时，若f ^t(z)的模≤r，则进入下一次迭代，若f ^t(z)的模＞r，则终止迭代；当迭代次数t=n时终止迭代。记录终止迭代时的时间为逃逸时间et，逸出时f ^et(z)的模为em，并对点z赋以关联参数et、em的颜色。这种计算机画图法叫做逃逸时间算法。当f(z)=z^2+c时，若对z着色，迭代成的分形叫经典Julia集，若对c着色，迭代成的分形叫经典Mandelbrot集。
下面我们先练习用这种方法来绘制Julia集(或Mandelbrot集)，着色模式采用“平滑着色模式”。
一、构建迭代格式(坐标公式)
   打开“复分形扫描框架【可调小扫描线】”，调用“画板分形常用工具箱”的“z^2”工具，按窗口左下角提示求出z2的坐标，再用“z[1]+z[2]”工具计算z^2+c的坐标。
二、求取et、em
   1. 调用“迭代终点Z、T”工具，依次匹配点z、z^2+c的横纵坐标，得Z、T；

2. 作z→Z、p0→p0+p，作深度为n-1的迭代；
3. 调用“et(eT)、em(eM)”工具，先后匹配点Z、T的迭代象，得et、em。
三、扫描线着色
1. 调用“平滑过渡着色RGB”，先后匹配et、em，得s、R、G、B；
2. 调用“RGB着色”工具，匹配点z(或c)，得z(或c)的着色点(与z或c重合)，此时系统默认选中z(或c)的着色点；

3. 不取消z(或c)的着色点选中状态，直接进入菜单“变换”\创建自定义变换\颜色变换，再取消z的着色点选中状态；
4. 选中扫描线，按“Ctrl+1”或进入菜单“变换”\颜色变换1，将颜色变换到扫描线，此时系统默认选中扫描线的颜色变换象，直接进入菜单“编辑”\属性\绘图，填“100”，“离散的”；
5. 系统仍默认选中扫描线的颜色变换象，不取消直接进入菜单“显示”\跟踪变换路径、点型“最小”，另存为“Julia set 1”(或“Mandelbrot set”)完成制作。

6. 所附文件参数设置：
   “Julia set 1”中n=200，r=100，两行扫描，c=-0.749-0.196i，采样数200；
   “Julia set 2”中n=200，r=150，三行扫描，c=0.309+0.025i，采样数200；
   “Mandelbrot set”中，n=200，r=200，三行扫描，z=0，采样数200；
   “反Mandelbrot set”中，迭代格式为z^2+c^-1，n=100，r=10，两行扫描，z=0，采样数200。
Julia set 1.jpg

Julia set 1.gsp (15.56 KB)
Julia Set 2.jpg

Julia set 2.gsp (15.63 KB)
Mandelbrot set.jpg

Mandelbrot set.gsp (15.61 KB)
反M集.jpg

反M集.gsp (15.64 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-16 01:07

在6#、7#更新了三个文件，增加了一些重要工具，其中扫描框架预设参数一般不要删除或更改标签，因为画板分形常用工具箱设置了一些自动匹配功能。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-16 08:34

辛苦，珍藏！

作者: 柳烟 时间: 2011-1-16 09:43

65# xiaongxp
已下载珍藏，谢过向老师。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-16 21:22

下一个练习：M\J集的镂空方法解析

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作者: 柳烟 时间: 2011-1-16 21:57

向老师是个热心家，肯栽培后学，这是我辈学习分形的人的福分，一年来，我向向老师学到不少东西，向老师的奉献精神，值得我们效仿。握手向老师。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-16 22:18

柳老师过奖了，太谦虚了，我从你那里也学习了不少。等我把这个帖子作完后，还有向你请教UF呢。
我一直在琢磨画板分形的一体化工具，希望从迭代格式的横纵坐标直接到扫描线的赋色，这样就降低了作画板分形的门槛，但一直没能成功。昨天更新的工具就是这一努力的初级结果，还要请柳老师测试匡正。

作者: 津华园 时间: 2011-1-16 22:42

作为高中一线教师，很难有更多的时间来研究分形。从粗论分形贴发表之时，便下决心学习分形，到现在还没真正行动起来，一是时间有限，再者，里面涉及知识复杂，坛子里帖子更新也挺快，各种方法技巧层出不穷，目不暇接，就像班里的差生，一段时间跟不上，后面也就没信心跟着学了。
站在分形的边上，一眼望去不见底，惧了，不敢往里迈啊！

作者: 柳烟 时间: 2011-1-16 23:14

71# 津华园
单就复变分形而论，涉及的知识并不深奥，加上朋友你乃高中一线老师，学习这容易，复数的加减乘除乘方开方应该不会陌生，初等复函数的定义，这是死的东西，书上有公式。复分形涉及的复数知识并不是太多。这就可造作复分形了。说到时间，雷锋说的钉子精神，朋友不仿效仿。
我也希望，大家多多交流，无私奉献，降低分形入门的高度，使更多的人进来这版块，以免关起门来各自为政，这样研究也挺辛苦的，众人拾柴火焰高嘛。我还是希望朋友们多多提供源文件，多多吐点秘密。因为图片制得再好，我们不知是如何制作的，也等于0。不知怎的，本版块源文件越来越少了，这不利此版块的兴旺发达。当然，发不发，全在自愿。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-16 23:48

71# 津华园
柳老师说的对，作复分形要有钉子精神，也不需要太多太深的数学知识，高中那点就行了。现在有了画板分形工具箱，作画板分形可以“傻瓜”化了，我们教师这不是问题。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-21 15:24

练习15. 经典Julia集和Mandelbrot集的RGB着色与内外部的修饰
   前一个练习中我们采用的着色方式为RGB(红绿蓝)三色方式，这种着色方式在画板复分形中最为常见，它能够很好的与et、em关联，其特点是色彩明快，色调亮丽。由于逃逸边界采用的是圆形边界(以坐标原点为圆心，r为半径)，所以分形的内部和外部呈环带状，其中每一环带上的et值相等。
   J/M集的RGB着色参数的构造可以自由编辑，并无定法，因人而异，但这一点是相同的，即必须与et或em相关联。经验证明，要获得等et值环色调渐变的效果，可使用“平滑着色模式”，要使等et值环色彩亮丽多变，可使用“夸张着色模式”，如果要得到镂空效果，可对一些等et值环或逃逸临界值em进行剔除。这些着色模式，已经作成工具，收入“画板分形常用工具箱”中，在工具使用中，要根据我们所作的复分形的不同迭代格式、不同扫描区域，以及分形的尺寸大小，对着色参数s、R、G、B中有关常数进行适当调整，或对运算格式进行再编辑，以达到最佳视觉效果。这个调整的过程，是作复分形中最耗时间、最具期待、最有魅力的过程，因为一件好的作品即将从我们手中诞生。
   下面练习使用“夸张着色RGB”和“镂空效果RGB”工具，以及等et值环双曲化方法
一、夸张着色模式
   打开前一个练习所附文件“Julia set 2”，删除点z的子对象点#13，调用“画板分形常用工具箱”的“夸张着色RGB”工具，依次匹配et、em，得着色参数s、R、G、B，再调用“RGB着色”工具，仿前一个练习对扫描线进行处理，保存为“Julia set 3”。使c=0.34+0.05i，n=350，r=3，eTstep=0.05扫描即成下图：
Julia set 3.jpg

二、镂空模式
下图是将前一个练习所附文件“Mandelbrot set”用“画板分形常用工具箱”的“镂空效果RGB”工具处理而成，制作方法仿上例。改r=2.38，eTstep=0.05，扫描得下图：
Mandelbrot set 2.jpg

三、等et值环的双曲化处理
打开文件“Julia set 3”，双击p，改“x+^2+y+^2”为“x+^2*y+^2”，r=300，，扫描得下图：
Julia set 4.jpg

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作者: 柳烟 时间: 2011-1-21 16:02

74# xiaongxp
下载文件，认真揣摩学习。向老师调色一向为柳某羡慕，第一次听说并使用此帖中的夸张着色模式，谢过向老师传经送宝。原来我在初论分形中，胡乱整镂空，结果镂空后，剩下的有半边月，现在仍不知如何处理，仍是迷团，记得那时搞了好几天，不通原理，当时也认为复变分形深不可测，大约学者级方能，打过好几次退堂鼓，只得作罢。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-21 16:19

让柳老师见笑了，这名字是我自己瞎编的，不知妥否。这种着色模式蓝黄红白变化明快，不像平滑着色模式那样舒缓，适合于大尺度分形，夸大了et环色彩差异，所以才取叫这个名字。如果et环密集，这种模式则不适宜，否则将使画面杂乱无章。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-21 20:35

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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-22 00:16

77# mjj_ljh
只怪老巷愚钝，怎么也没读出梅兄的意思。

作者: 榕坚 时间: 2011-1-22 09:20

78# xiaongxp

应该是在改变着色时更改的参数与迭代法则相关的变量有关联造成的，因此如果按文件现有的参数再做一遍是得不到贴图的效果的。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-22 12:37

79# 榕坚
谢谢。我作了两次迭代，第一次迭代删除不彻底。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-22 12:40

练习16. 复分形的等势线作法
   迭代格式为z→f(z)+c的分形(其中f(z)为复压缩变换)，对c着色叫广义Mandelbrot集，对z着色叫广义Julia集。
   从前面两练习可以看到，用逃逸时间算法得到的分形由一圈一圈的等et环包裹着。根据等et环的分布的不均匀性，对于点z关于同一小模长平移向量的平移变换点，并不总是和z落在同一等et环内，我们用示性数s=0或1来区别这种若即若离的状态，并以此为着色参数对z或c进行着色，这种作图方法叫复分形的等势线作法(由changxde老师首先引入画板分形)。
   下面练习迭代格式为z→1-z^2+z^5/(2+4z)+c的广义J集的等势线作法。
一、构建迭代格式(坐标公式)
   1. 打开“复分形扫描框架【可调小扫描线】”，调用“画板分形常用工具箱”的“z^2”工具，求出z^2的横纵坐标，从“数据”菜单计算1- z^2的横纵坐标；
   2. 该k=5，再用“z^k”工具计算z^k的横纵坐标和从“数据”菜单计算2+4z的横纵坐标，用“z[1]÷z[2]”工具计算z^5/(2+4z)的横纵坐标；
   3. 用“z[1]+z[2]”工具计算迭代格式1-z^2+z^5/(2+4z)+c的横纵坐标。
二、由变换z→eT求z的变换点z''
   1. 调用“迭代终点Z、T”工具，依次匹配点z、迭代格式1-z^2+z^5/(2+4z)+c的横纵坐标，得Z、T；
   2. 作z→Z、p0→p0+p，作深度为n-1的迭代；
   3. 调用“et(eT)、em(eM)”工具，先后匹配点Z、T的迭代象，得et、em。
   4. 选中点z和点eT，作自定义变换z→eT，隐藏点eT，在框架点P所在一边上取点A，度量PA的距离，作点z的向右比为PA的距离的平移象z'，对z'施行变换z→eT，得点z''(位于T的迭代象上)，隐藏z'；
三、扫描线着色
   1. 调用“等高线示性数s”工具，匹配点z''得示性数s；
   2. 调用“灰度着色”工具，对点z着色，往下同练习14处理；
   3. 将点c定位于(-0.166，0.13)，改n=150，r=3.5，编辑s=0.5(1-sgn(PA-m))(注：1后面的运算符±转化为正负片转化效果)，采样数200，移动点A，使PA的长减小几近为0，保存后扫描即成下图：

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图片附件: 等高线J集.jpg (2011-1-24 13:26, 32.96 KB) / 下载次数 1975
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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-22 12:50

在制作“等高线J集”过程中，发现“z^k”工具在z=0时未定义，现已更正，工具箱已同步更新。

感言：实践出真知啦！

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-22 15:31

78# xiaongxp

1、工具中是否应为1-p;
2、带预览工具为何有两个x,y轴，感觉有冗余；
另求et工具是否应为(yet-yt)/eTstep.
不知感觉对否。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-22 21:03

78# xiaongxp

1、工具中是否应为1-p;
2、带预览工具为何有两个x,y轴，感觉有冗余；
另求et工具是否应为(yet-yt)/eTstep.
不知感觉对否。
mjj_ljh 发表于 2011-1-22 15:31

梅兄研究问题一向严谨，感谢指正。1、2两问题已解决，文件随即更新。et工具原设计0时刻点对应纵标为0，不用点T0了，没问题。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-23 17:54

练习17. 复分形的拟3D作法
设复平面上点(x，y)，变换：
         x'=x*cos(θ)-y*sin(θ)
         y'=-cos(φ)*[x*sin(θ)+ y*cos(θ)]+ sin(φ)*h*g(et，em)
(其中θ为水平线转角，φ为水平面转角，h为纵向最大高度，g(et，em)为关联et、em的实函数)即为拟3D变换(最早由xuefeiyang引入画板分形)。
下面以经典Julia集和Mandelbrot集为例，练习复分形的拟3D作法。
一、对迭代格式z→z^2+c用逃逸时间算法求R、G、B
下载最新版“复分形扫描框架【可调小扫描线】”(1月23日更新)，先按练习14作到三.1步，得s、R、G、B；
二、作对点z(或c)作拟3D变换
1. 调用“画板分形常用工具箱”(必须下载23日最新版)的“拟3D变换”工具，匹配点z(或c)，得“拟3D变换点”；
2. 调用“RGB着色”工具，匹配“拟3D变换点”，同时选中点z(或c)和“拟3D变换点”的着色点，进入“变换”菜单，创建自定义变换，得“颜色变换1”，再取消z(或c)的着色点选中状态；
3. 选中扫描线，按“Ctrl+1”或进入“变换”菜单选“颜色变换1”，将颜色变换到扫描线，此时系统默认选中扫描线的颜色变换象，直接进入菜单“编辑”\属性\绘图，填采样数=200，显示为“连续的”；
4. 系统仍默认选中扫描线的颜色变换象，直接进入菜单“显示”\跟踪变换路径、线型“极细”；
5. 该参数n=160，r=200，sheta=2π/3，phi=2π/5，c=-0.75-0.20i，适当调节H的高度，保存;
   6. 工作面有两个扫描按钮，扫描方式一个向前一个向后，拟3D作图应采用向后扫描，扫描次数一次。扫描图如下：
Julia set 6.jpg

Julia set 6.gsp (23.16 KB)
下图为Julia集，参数为：n=160，r=200，sheta=π/12，phi=2π/5，c=0.31+0.03i，采样数=150：
Julia set 5.jpg

Julia set 5.gsp (23.15 KB)
下图为Mandelbrot集：
Mandelbrot set 3.jpg

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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-26 18:48

trunc函数也能实现雕刻，而且扫描框内所有点均有意义。

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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-28 05:52

大展鸿“兔”

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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-28 16:01

练习18. 免工具M集的作法与缩放框架的应用
   借助于“画板分形常用工具箱”，我们练习了作复分形的基本方法。但是，画板复分形的数学原理却深深隐藏在这些工具里，要真正享受到其中的数学乐趣和艺术魅力，还得要免工具一步一步实践画板复分形的制作过程。下面以经典Mandelbrot集的局部放大分形图的制作为例，介绍复分形的免工具作法。
一、计算迭代格式
   1. 打开“复分形扫描框架【缩放预览取景】”(可以说，此扫描框架的发明，是xuefeiyang老师对画板复分形的里程碑性的贡献，感谢他的无私分享)，先另存为“局部放大M集”，
   2. 从“数据”菜单计算：x=xz^2-yz^2+xc，y=2*xz*yz+xc；
二、构建迭代象，求逃逸临界点模em和逃逸时间et
   1. 计算逃逸时间示性数p：当点z=x+yi 的模|z|≦r时，p=1，否则p=0，即p=0.5(1-sgn(0.5+sgn(sqrt(x^2+y^2)-r)))；
   2. 作点z的p变换点Z：当p=1时z向前迭代一次，当p=0时z停止与当前位置，即Z= xz *(1-p)+x*p+i*[ yz *(1-p)+y*p]，绘制点Z；
   3. 计算p0+eTstep*p，度量T0的横标，绘制点T(x T0，p0+eTstep*p)；
   4. 作深度为n-1的迭代：z→Z，p0→p0+p;
   5. 改n=5，将x轴上单位点、点z的位置作适当调节，求Z和T的迭代象的终点，分别记为eM和eT，
   6. 度量eM与坐标原点的坐标距离记为em，度量eT的纵坐标yeT，计算yeT* eTstep^-1记为et；
三、着色与放大、定位
   1. 计算灰度参数s=ln(0.5*et)-8*log(0.1+ln(1+em))（注：根据画面着色情况，要作适当编辑）；
   2. 以s为参数对点c进行灰度着色，并变换到扫描线上，设采样数为“离散的”、点形为“最小”，
   3. 将点z合并到原点，改n=500~1000，r=2.8后保存。往下可自行用预览取景框定位放大，直到得到你所满意的分形图，再保存。
四、“复分形扫描框架【缩放预览取景】”的功能说明
   “初始化”——使坐标原点、预览取景框置于扫描框架中央，坐标系单位长度还原成1厘米；
   “预览取景框”——用于定位、取景和预览。其“+”字交叉点为定位中心，每一次缩放的倍率，是通过“预览取景框”或扫描框的大小调节自动确定的；预览功能的使用，要先将颜色变换映射到其小扫描线上，采样数以两位数为宜，再作其函数簇，采样数仍以两位数为宜，其图形画面粗糙但可预览缩放后的大概结构。在使用预览取景框时，先粗扫一遍，再用预览取景框将要放大的部分框住，按“缩放定位”一次后，再按“横向扫描”或“纵向扫描”，则扫描出来的图形的尺寸与原图形尺寸倍率可从表格“缩放比”查得；往下每一次缩放定位前，都应双击一下表格，以记录下一次缩放比，最终计算出所有缩放比的积，这就是所得图形的尺寸相对于1 厘米一个单位的图形的缩放倍率。

下图定位中心为c=-0.76758+0.10557i：

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作者: 榕坚 时间: 2011-1-30 15:29

88# xiaongxp
这幅图的着色已经不下十遍，总是不大满意，颜色多了又嫌的乱，少了又觉得单调：

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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-30 22:22

89# 榕坚
你这个色彩挺不错的，对此图我就不敢用彩色。

作者: xiaongxp 时间: 2011-2-1 09:03

试验了HSV，仍不得法，看来这种着色还有待研究。HSV与灰度比较，似乎后者效果要好些
Mandelbrot set 3.4(HSV).jpg

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作者: 榕坚 时间: 2011-2-1 21:27

也试一个HSV的：颜色有点乱

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作者: xiaongxp 时间: 2011-2-2 17:41

最近研究mjj老师的HBV.gsp, 对HBV着色有了进一步的认识，挺有收获的，等方法成熟后制作成工具，与大家分享。

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作者: xiaongxp 时间: 2011-2-15 07:14

练习19. Newton分形的画板实现
   解复数方程f(z)=0，常用Newton迭代公式z[k+1]=z[k]-f(z[k]) /f ' (z[k])作零点的逼近。当迭代到|z[k+1]-z[k]|首次小于给定的误差阈值r(如= 0.0000001)时，便生成Newton分形图象。本例将通过复方程z^4+z^3-1=0的Newton迭代，介绍Newton分形的制作方法。
一、计算迭代格式
   1．打开“复分形扫描框架【缩放预览取景】”；
   2．调用格式工具“z^k”分别计算z^4、z^3的横纵坐标，“z^2”计算z^2的横纵坐标；
   3．用“数据”菜单计算f (z)= z^4+z^3-1、f ' (z)=4z^3+3z^2的横纵坐标；
   4．用格式工具“z[1]÷z[2]”和“z[1]-z[2]”计算出z-f(z) /f'(z) 横纵坐标x[÷]、y[÷] ；
二、构建迭代象，求逃逸临界点模em和逃逸时间et
   1．调用变换工具“N-p示性数、p变换点Z、T”；
   2．作深度为n-1的迭代：z→Z，p[0]→p[0]+p，改r=0.000001；
   3．用“N-et(eT)、em(eM)”工具，先后匹配点Z、T的迭代象，得et、em
   4．双击编辑em：删除其中的x[z]、y[z])；
三、扫描线着色
   1．调用“N集着色参数HSV”，先后匹配et、em，得H、S、V；
   2．用“HSV着色”工具，匹配点z后，对横扫描线着色并仿前几例设置；
   3．进行试扫描后，用“预览取景框”定位放大，同时调整点H、S、V，直到满意为止，保存，制作完毕。
   下图中心定位于点(-0.43302，0.47737)，扫描范围(-1.46541，0.95985)~(0.59938，0)，n=100：

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作者: xiaongxp 时间: 2011-2-15 07:19

在6#、7#更新了三个文件，增加了包括“N集着色参数HSV”等5个工具，其中“N集着色参数HSV”还有待测试校正。

作者: xiaongxp 时间: 2011-2-16 17:25

练习20. Newton分形的特效处理算法处理
Newton分形具有美丽的“项链”结构，为分形艺术图形创作提供了充沛的素材。利用不同的特效处理算法，对分形艺术图形进行二次加工，可以生成绚丽多彩的分形艺术图形。本例将通过复方程z^k+1=0的Newton迭代，介绍Newton分形的特效处理算法实现方法。
一、作Newton分形
先仿上例复方程z^4+1=0的Newton分形，如下图：
N set z^4+1=0.jpg

二、构造特效处理算法格式
   所谓特效处理算法，就是将复迭代的初点z作为点另一点c的某一复变换f(c)下的象，重新对c着色的算法，由于这个复变换具有任选性，所以由c产生的复分形层出不穷。常见的特效处理复变换有：
      1．“中国结”： x[z]=x[c]^2+ y[c]^2，y[z]=2x[c]* y[c]
      2．“网结构”： x[z]=sin(2x[c]+ 2y[c])，y[z]= cos(2x[c]-2y[c]])
      3．Moebius变换： z=(αc+β)/(γc+δ)
      4．复变换：    z=c±c^-1，
还可以用这些变换作复合变换，作为特效处理复变换。构造分形的具体作法是：
   1．计算f(c)的横纵坐标，绘制点f(c)；
   2．将Newton迭代的初点z合并到点f(c)；
   3．对点c着色，再对扫描线着色、跟踪、扫描即可。
   下面这组图为z^4+1=0分形的“网”处理图：
一阶“网”
N set z^4+1=0 (一阶网).jpg

二阶网

三阶网

下图为z^4+1=0分形的“一阶中国结”处理图:
N set z^4+1=0(一阶中国结).jpg

下图为z^6+1=0分形的“一阶中国结”处理图：
N set z^6 +1=0(一阶中国结).jpg

下图为z^4+1=0分形的复变换z=c+c^-1处理图：
N set z^4+1=0,z→c+c^-1.jpg

源文件：

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图片附件: N set z^4+1=0,z→c+c^-1.jpg (2011-2-16 18:12, 24.46 KB) / 下载次数 1801
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作者: xiaongxp 时间: 2011-2-16 17:32

全文完毕。本人将全文制作成电子书后，再分享与坛友。
如有不清楚明白的地方，欢迎在本贴留言，我将尽力解释。

作者: xiaongxp 时间: 2011-2-16 17:35

“画板分形常用工具箱”最后一次更新，应该是最终版了。

作者: inRm 时间: 2011-2-16 18:12

期待完整电子版。

作者: xiaongxp 时间: 2011-2-17 16:07

完整电子版整理（含全部gsp源文件和插图）完毕。由于文件较大（约6M），太占空间，所以将电子书及gsp源文件存入115网盘，需者请从顶楼下载

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