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标题: 阿波罗尼斯作图问题学习 [打印本页]

作者: 柳烟 时间: 2011-3-6 17:16 标题: 阿波罗尼斯作图问题学习

大家应整点与数学有关的东西，这样才有意义。下面的问题，算是征解吧，最近研究数学，引出一大摊问题，大家帮忙，因为好多数学知识已经还给老师了，有些呢，是新遇到的问题。最近对要用到的数学知识进行补火，收获不小，但也引出些问题。
如图，已知三个半径不等的圆O1、圆O2、圆O3，求作一圆与这三个圆同时外切。

图片附件: 未命名.GIF (2011-3-6 20:56, 4.73 KB) / 下载次数 3067
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10601&k=18ec24f8cb290c36ff019d197e2ccfe6&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: changxde 时间: 2011-3-6 19:23

我找了一个资料，可供参考

附件: 圆之吻阿波罗尼斯问题的历史pdf.part1.rar (2011-3-6 19:23, 195.31 KB) / 下载次数 4666
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10604&k=d6c9eb47222c4f9cd1ade0dae5b350f0&t=1765231925&sid=FiwGIR

附件: 圆之吻阿波罗尼斯问题的历史pdf.part2.rar (2011-3-6 19:23, 195.31 KB) / 下载次数 4676
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10605&k=9e5d35326cbaf5e316f83263788f67cb&t=1765231925&sid=FiwGIR

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10606&k=836874213478554c98f97c3e310639da&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: 柳烟 时间: 2011-3-6 19:37

2# changxde
非常感谢changxde老师提供的好资料，正在看，并为其吸引。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-6 21:11

根据二楼常老师给的资料，试用画板解决这个问题。按资料所讲顺序，先解决点圆圆问题，即已知一圆和两个已知点，求作过两已知点且与已知圆相切的圆。

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作者: 榕坚 时间: 2011-3-6 21:23

4# 柳烟

最好要先过反演变换这一关。

作者: inRm 时间: 2011-3-6 21:44

用双曲线交点作圆心：

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附件: 外切三圆之圆.sgf (2011-3-6 21:46, 4.84 KB) / 下载次数 4200
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10614&k=c8f369a3a899a9032147178b6530c6a5&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: liyougui 时间: 2011-3-6 21:55

人教论坛里有关的东东多的呢
http://bbs.pep.com.cn/viewthread ... p;extra=&page=1

作者: 柳烟 时间: 2011-3-6 23:12

5# 榕坚
正是学习反演这玩意，才引出了这个问题，没想到这问题还是历史上引起热议的问题，有趣。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-6 23:51

第二部曲：解决点圆圆问题，即已知一点A与两个圆O1、O2，求作过已知一点A与二圆相切的圆。
1、作两圆O1与O2的位似外心P；（即PO1：PO2=r1:r2）;
2、O1O2与两圆交于点C、D，过A、C、D三点的圆交PA于B
3、按点点圆的作法，作过A、B与圆O1相切的圆。

图片附件: AAA.gif (2011-3-7 00:56, 75.7 KB) / 下载次数 3366
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10619&k=c9bd3389a19650721c871e5f4cb504e3&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: 柳烟 时间: 2011-3-6 23:57

7# liyougui
谢谢，空了去那坛子耍耍。哎，只怪以前读书不上心，书到用时方恨少呀。问好。

作者: zhchgao 时间: 2011-3-7 07:42

用双曲线交点作圆心：
10613
inRm 发表于 2011-3-6 21:44

软件的功能不同，作法就大不一样了。一句话：方法受功能制约。
gsp双曲线交点求不出来。

作者: zhchgao 时间: 2011-3-7 07:44

不过gsp的这种尺规作法研究很有数学味道。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 08:56

6#方老师的双曲线解法，即2#常老师提供资料中的罗曼努斯解法。用几何画板也能够演绎这种作法，我作好后，发在这里。

作者: lzb1a2b3cd 时间: 2011-3-7 10:13

我用几何画板也来和方老师3D一个。

交轨作法.gsp (10.02 KB)

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作者: yiaihua 时间: 2011-3-7 11:26

与三个已知圆相切工具

与三个已知圆相切工具(yiaihua).gsp (21.96 KB)

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作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 12:04

14# lzb1a2b3cd
作得不错，下载学习，我的思路也是用交轨作法。2#资料中，提供了尺规作法，用尺规作法，则又是别一番天地。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 12:07

5# 榕坚
此题用反演变换能作。

作者: zhengmh 时间: 2011-3-7 13:03

14# lzb1a2b3cd

个别情况下有问题,双曲线的交点跑了!

交轨作法.gsp (10.02 KB)

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作者: lzb1a2b3cd 时间: 2011-3-7 13:37

18# zhengmh

谢谢你的细心，我做个补漏措施，你可看看效果。

交轨作法.gsp (10.5 KB)

[attach]10625[/attach]

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10627&k=87ddc7a4299c3f209d78e2b6869cbd55&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 13:41

我试用交轨法作，结果交点弄不出，看来周版主所言极是。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 13:46

15# yiaihua
就你作的图而言，你试拖动已知三圆，可发现当存在相切圆时，却没有公切圆，所以这工具有问题，问题的出现可能是画板用双曲线上的点做圆心存在问题，是这软件造成的。周版主说的正确。
这是你的工具的截图：

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10626&k=dbed8663ed3e3022c94517f67b0c41b2&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: 周传高 时间: 2011-3-7 15:09

我用几何画板也来和方老师3D一个。
10621
lzb1a2b3cd 发表于 2011-3-7 10:13

这个与3D无关，方老师用inRm3D也是平面内作的。问题本身是平面图形问题。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 15:29

第三部曲，作圆圆圆，即已知三圆，作这三圆的公共外切圆与公共内切圆。（即常老师资料中的韦达方法，解决阿波罗尼斯问题）
假如圆O1、圆O2、圆O3的半径分别为r1>r2>r3，下面用尺规作与这三圆的公共外切圆与公共内切圆，先将前面作过的点点圆、点圆圆制成工具，外加一个位似外心工具。已造好，发出，大家可查查有什么问题。这工具颇费周章，先造，再检验，发现有问题，又造，修正了，但保不了还有问题，但我还没发现问题，不等于就没有问题。晚上再来造这阿波罗尼斯圆问题。

附件: 阿波罗尼斯问题三工具.gsp (2011-3-7 16:55, 26.08 KB) / 下载次数 3065
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10631&k=8cf4fae2afe6f174cf56eaf80d6d19eb&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: lzb1a2b3cd 时间: 2011-3-7 15:38 标题: RE: 作图问题

做曲线交点真麻烦，总出问题。当小圆在另两圆中间时，可以有同时和三圆相切的两圆。

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10628&k=0b8f186496e3758271a5dfddf565a0d1&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: 周传高 时间: 2011-3-7 15:56

作的图还是蛮准（精确度高）的。

图片附件: 2011-03-07_160229.png (2011-3-7 15:56, 20.74 KB) / 下载次数 2039
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10629&k=ff6b823d0f959790c5b947eb4cd39d2e&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: lzb1a2b3cd 时间: 2011-3-7 16:32

25# 周传高

三圆公共内切的圆。

交轨作法2.gsp (16.54 KB)

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作者: changxde 时间: 2011-3-7 16:59

PCC工具还算可以，CCC工具有待改进

阿波罗尼斯圆工具.gsp (192 KB)

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作者: changxde 时间: 2011-3-7 17:15

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作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 17:47

27# changxde
工具作得不错，下载收藏之。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 18:59

假如圆O1、圆O2、圆O3的半径分别为r1>r2>r3，下面用尺规作与这三圆的公共外切圆与公共内切圆
作法步骤：
1、以O1与O2为圆心，分别以r1-r3、r2-r3为半径作圆；
2、用点圆圆工具，过O3作这两个半径差的圆的公共外切圆与公共内切圆O、O'；
3、再以点O、O'为圆心，作圆O3相外切的圆与相内切的圆，即为所求的圆。
第一步：

第二步：

图片附件: 未命名.GIF (2011-3-7 19:55, 6.79 KB) / 下载次数 2370
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图片附件: AAA.gif (2011-3-7 19:30, 103.68 KB) / 下载次数 2617
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10636&k=7758157ab4ddf270b1b1eb5083585092&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 19:36

第三步：

韦达的作法大致就是如此，从资料中看来。我这个画板作法，在拖动已知三圆到某些位置时，会出现不是公切圆的情况。原因不或许是工具中的缺陷，当直线与圆相切时，这软件瑕疵多，不好作出切点。

图片附件: AAA.gif (2011-3-7 19:36, 122.06 KB) / 下载次数 2809
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=10637&k=f1cd9452d2d56a3d977118ba1e6589b5&t=1765231925&sid=FiwGIR

作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 20:02

接下来，热尔岗的解法，从二楼提供的文献看来，奇妙，但是一个头两个大，有点复杂，但庞斯列与福切二人的解法，看起来挺引人入胜的，看起来简单，但是里面的共轴圆不知是什么，但可猜知一二，但共轭圆，这名字太陌生了。

作者: liyougui 时间: 2011-3-7 20:22

最好都用尺规作图，把各种情况都搞清楚。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 20:32

33# liyougui
对，我也觉得这样。如果将结果制成工具，调出工具，一瞬间就完成，但知其然，不知其所以然，魅力就大减了。问好老兄。这问题俱说可以通过反演变换做，我正在网上翻看关于反演有关内容。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-7 23:07

这个作图题的反演变换解法中，请教反演变换结论：两圆相切时，通常是以切点为反演中心，相切的两圆变为不过反演中心的两条平行直线。这两条平行直线如何作出？好象GSP最强板的集成的反演工具中，没有这个。那位高手帮忙作出这个工具来。另我看到反演变换工具中的直线反演，象是不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆，那这个反形关于反演中心的反形应该是那直线呀，这个工具谁能作出来，造福我们这批菜鸟？谢谢了。
还有，我查看了反演工具的制作脚本，工具制作复杂，有谁能说说这些工具的制作机理？

作者: stg1109 时间: 2011-3-8 07:14

35# 柳烟
柳烟老师堪称大师了，还如此谦虚，此菜鸟非彼菜鸟也!

作者: 柳烟 时间: 2011-3-8 08:22

36# stg1109
大师实不敢居，永远是个学生，所遇的问题太多。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-8 10:33

这个问题在http://www.inrm3d.cn/viewthread.php?tid=666&extra=&page=1已完全解决了！

作者: 柳烟 时间: 2011-3-8 13:09

38# xuefeiyang
谢过胡老师，我去看看。因为学习分形，所以引出了一些问题，并对所忘失的所缺失的数学，进行补火。学习帖子里的讲到的数学知识去了。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-10 09:22

三圆的公共相切圆的反演作法：
1、将如图所示的三个圆的半径扩大，使圆O1与圆O2相切于T；
2、以T为圆心作基圆T与扩大的圆O1与扩大的圆O2的相交；（扩大的相切两圆经过了反演中心T，则其反形是两条垂直于O1O2的平行直线）
3、作三扩大后的三虚线圆关于其基圆T的反形，两条平行直线与圆M，如图所示。
4、作与两平行直线与圆M同时相切的圆N（与三个反形同时相切的圆N）
5、作圆N关于圆T的反形，则得与三放大的圆O1、O2、O3都相切的圆Q；
6、将圆Q的半径缩小，缩小的量值与前面圆O1的半径扩大的量值相等，则得与圆O1、圆O2、圆O3同时内切（或外切）的圆。（有时作出来是与三圆同时内切，有时作出来是同时外切）

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作者: 柳烟 时间: 2011-3-10 09:47

上楼用了反演变换，因为反演变换能够用尺规完成，所以以上作法是正宗的尺规作法。

作者: 榕坚 时间: 2011-3-10 09:53

柳老师这种执着的精神值得学习。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-10 10:12

42# 榕坚
抬举了，越学，越觉得浅薄。我们大家都很执著，精神互相影响。

作者: lzb1a2b3cd 时间: 2011-3-10 11:18

40# 柳烟

做的不错，演示很到位，下载学习了。

作者: lzb1a2b3cd 时间: 2011-3-10 11:32

41# 柳烟

确实是“尺规作图法”。只要直尺和圆规就可实现做出目标图形。通过作图可提高我们几何知识水平和作图能力。

有了几何画板后，是不是该把“几何画板作图法”也做为一种新的作图法？这样有利于提高我们的几何画板水平。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-10 17:15

J·D·Gergonne的一般性作法：
作法机理在2楼changxde老师提供的资料里，文献中讲的详细。
用此法作图前，先按资料中的分析机理，准备好：位似外心，位似内心，极线，极点，极轴（等幂轴）工具。
作法步骤：
1、作三个圆O1、O2、O3的等幂心S；
2、作这三个圆的外相似轴XY（即由三圆中的两两圆的位似外心共线的那直线）；
3、分别作出XY对于圆O1、圆O2、圆O3的极点P、Q、R；连结SP、SQ、SR并延长，与圆O1、圆O2、圆O3分别交于A、A‘、B、B’、C、C‘
4、分别过点A、B、C与A’、B‘、C’作圆O与圆O‘，则圆O与圆O’即为所求。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-10 19:31

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作者: 柳烟 时间: 2011-3-10 19:41

上楼的作法具有一般性，无论三圆位置如何拖动，大小如何变化，都能保证两圆同时与已知三圆同时相切，妙哉。附上源文件，里面有作公切圆时的各工具，这些工具都能利用尺规法造作出来，故上面作图仍是正品的尺规作图。

J.D.Gergonne的作法.gsp (46.91 KB)

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作者: 榕坚 时间: 2011-3-10 20:49

48# 柳烟

不见得，但三圆心共线时就出问题了。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-11 00:23

49# 榕坚
说得对，是有这个问题，也可能是工具的问题，我发觉，工具有时很难兼顾。当这三个圆心共线时，两两的根轴（互相平行）的交点在无穷远处，故而且根心S画不出。如果在画板上就这种特例，作出相切的圆，则可弥补的一问题。我想是这样。谢过榕坚兄指出这毛病，除了你说的这情况外，其余情况好象没有问题。看来该数学家的作法不适合三圆心共线这种情况。
我空了再看看这三圆心共线时，如何作其公切圆

作者: 柳烟 时间: 2011-3-11 01:16

又：阿波罗尼斯问题如果讲解的个数，则情况复杂，如果说三圆相切于同一个点，则与这三圆同时相切的圆有无数个，我们不可能用画板将这无数个圆作出。

作者: liyougui 时间: 2011-3-11 07:34

可以利用点在直线上移动的圆的轨迹得到一列共点圆。

作者: changxde 时间: 2011-3-11 11:25

梁绍鸿《初等数学复习及研究》（平面几何）的讨论 383页

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作者: 柳烟 时间: 2011-3-11 12:58

2楼文献中涉及到的知识，可参阅53楼提到的《初等数学复习及研究（平面几何）》一书。该书颇有价值。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-12 01:07

已知圆O1、圆O2，点P，求作与圆O1、圆O2相切且过P的圆。（点圆圆）
用反演变换作：
未命名.GIF

假如圆O已经作出，以点P为反演中心，构建基圆圆P，则圆O1、圆O2的反形仍是圆，假如反形分别对应为圆O'与圆O'',由于圆O过反演中心，按定理知过反演中心的反形为一直线，则圆O的反形为圆O、圆O''的公切线，如图所示。

为方便起见，构造出的圆P与圆O1正交，按定理知则圆O1的反形仍是该圆。

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作者: 柳烟 时间: 2011-3-12 01:46

点圆圆的反演作法（两圆相交或相离）.gsp (36.7 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2011-3-16 00:47

这里的结论齐全：http://www.jlms.cn/gsp/show.asp?id=123

作者: 柳烟 时间: 2011-3-19 09:37

2楼资料中提到的庞斯列——福切作法，我卡住了。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-21 00:27

作三两两外切圆的公切圆S.gsp (10.49 KB)
特别说明：非尺规作图。

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作者: zhchgao 时间: 2011-3-21 07:45

精彩！两个字。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-22 21:41

作三两两外切圆的公切圆S.gsp (10.49 KB)
未命名.GIF

60\61楼作图请参考文献：

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