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标题: 鞋匠刀与相切圆迭代问题(征解) [打印本页]

作者: 柳烟    时间: 2011-4-30 23:30     标题: 鞋匠刀与相切圆迭代问题(征解)

最近研究三半圆(两半圆内切,再与大半圆外切)内的公切圆的圆心的轨迹,引出一问题:如何作出这三半圆间类似四圆或三圆极限集那样大大小小相切的圆?(即作出三相切半圆的无限个公切圆)
未命名.jpg
或者如何作出一个半圆内的无数个公切圆?

图片附件: 未命名.jpg (2011-5-1 07:06, 37.52 KB) / 下载次数 2648
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11735&k=263d7f151a495ea44b11cd43effc85d2&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: yimin0519    时间: 2011-5-1 14:50

1# 柳烟

鞋匠刀难题(又称Pappus累圆)
http://bbs.mf8.com.cn/viewthread.php?tid=36050

Pappus Chain
http://mathworld.wolfram.com/PappusChain.html
Pappus.gif

也可以参看这个,荷兰语维基百科:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Keten_van_Pappos

pa02gai.gif

图片附件: Pappus.gif (2011-5-1 15:07, 9.12 KB) / 下载次数 2453
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11738&k=23268fbc196abdb1d0f70d89bd6a3be0&t=1755429547&sid=NFCuHs



图片附件: pa02gai.gif (2011-5-1 15:59, 41.57 KB) / 下载次数 2452
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11740&k=32fce8b171ad7fc72992986b1e9917ab&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-2 00:52

2# yimin0519
感谢朋友提供的资料,很有用。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-2 14:18

再次感谢朋友提供的网址,我打开了外国网站,里面的图片正是我想达到的效果,如何用画板通过迭代实现呢,板友们帮忙想想办法,解决这鞋匠刀等问题。我发一张那网站的图片,大家欣赏欣赏。想不到我胡乱提的问题,已有前人进行过探索。
PappusTangentChain_800.gif
PappusTangentChain2_850.gif
第二幅图片,如果能在最大弧下所有曲边三角形里再加公切圆,如此以至无穷,就更好看了。

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11770&k=7726baf673a875529e03df0d93fc8409&t=1755429547&sid=NFCuHs



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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11771&k=bf883b20a97a381c14f7e73bb63858ab&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-2 14:46

这个分形如何用画板实现:
未命名.GIF
http://demonstrations.wolfram.com/FractalReflectionOfCircleConfigurations/

图片附件: 未命名.GIF (2011-5-2 17:09, 57.29 KB) / 下载次数 2973
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11772&k=4f8d4d86e259d4f74f9ddddfeb717f13&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 榕坚    时间: 2011-5-2 15:11

5# 柳烟


这个有点象巷老师之前的圆迭代。
作者: xiaongxp    时间: 2011-5-2 17:36

将任意3圆反演压缩到第四圆,再作迭代
作者: 柳烟    时间: 2011-5-2 17:43

仿学网上分形:
未命名(2).jpg

图片附件: 未命名(2).jpg (2011-5-7 11:05, 55.88 KB) / 下载次数 2913
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11777&k=8a8f6f29b44d19803839fc58da98f1d5&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-2 17:57

6# 榕坚
老港老师是圆迭代方面的行家。
作者: xiaongxp    时间: 2011-5-2 18:06

9# 柳烟
过奖了。我也是盲人摸象,误打误撞。
可参考http://www-m10.ma.tum.de/bin/vie ... rasPearls/Schottky3
作者: 柳烟    时间: 2011-5-2 18:49

10# xiaongxp
好象与四圆或三圆的极限集有些相似。
作者: zwh2010    时间: 2011-5-2 19:55

4# 柳烟

都加,到无穷就满啦,我是这么想的,呵呵。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-2 20:13

12# zwh2010
说得对,画板也不可能迭代到无穷,只能迭代有限次,在有限次中,圆很多,以至半径小到一定程度,让我们的眼睛丧失功能,看起来好象无限多就成了。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-2 20:17

不久前学整过一个四圆极限集,与这半圆极限集(这名字取的不是很恰当),好象一半就是此。
未命名(4).GIF
问题是,如何在三个半圆内搞。

图片附件: 未命名(4).GIF (2011-5-3 13:54, 5.33 KB) / 下载次数 2477
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11779&k=8aaf10a2f40b4a4073548011ea6d175d&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: xiaongxp    时间: 2011-5-2 22:36

5# 柳烟
郁闷,变换关系如此简单,就是不知如何迭代!
这是反复变换得到的:
未命名1.gsp (119.83 KB)

附件: 未命名1.gsp (2011-5-2 22:36, 119.83 KB) / 下载次数 3916
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11782&k=0aa8027709e5c02175a457fdb938a1bc&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: 柳烟    时间: 2011-5-2 22:55

15# xiaongxp
恭喜向老师,我看了你的文件,不错,取得了很大进展。我今晚研究2楼提供的网站上圆半径的迭代公式rn,当n=1时,圆半径r1的算式还能懂,因为推导过。其余n=2 丈二和尚摸不着头脑。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-2 23:40

为帮助大家解决问题,提供有用资料在此:
鞋匠刀问题及两个重要结论:
这是一个古老而经典的几何学难题,如图所示,有一个大圆A,内部有一个和它内切的圆B,在AB圆心连线的上做小圆C同时与A、B相切。
再做C1与C,A,B相切,做C2与C1,A,B相切。。。。。。
这个图的上半部分包括一连串相切的小圆,被称为鞋匠的刀。
求证:
1、C1,C2,C3,。。。Cn的切点都在同一个圆上(虚线部分)
2、设Cn半径为Rn,则从Cn圆心到AB圆心连线的垂直距离恰好是  2n*Rn
未命名(3).GIF
证明:以圆A和圆B的切点O为中心,任取一个长度r,作反演。圆A和圆B反演成两条平行的直线,所有Ci反演成圆。
由于Ci和A,Ci和B,相邻的两个Ci都相切,那么所有Ci反演以后的圆就是夹在两条平行直线间的一列半径相同的圆。
这些圆的切点显然在一条直线上,而且和先前说的两条直线平行。那么在做反演之前,这些切点必然共圆。(结论1)

假设圆Cn反演成圆Gn。它们的圆心OCn和OGn,与O必然共线。假设该直线与Cn交于Cna和Cnb,与Gn交于Gna和Gnb。注意所有的Gn的半径都是相同的,记为rg。
根据反演的定义,OCna * OGnb = r平方 = OGna * OCnb,而OCnb = OCna + 2rn,OGnb = OGna + 2rg。
所以 (OCna + 2rn) / (OGna + 2rg) = OCna / OGna,稍微变换一下形式,得到:(OCna + rn) / (OGna + rg) = rn / rg

从Gn圆心向AB圆心连线作垂线,根据明显的相似三角形,有Ln / (2n * rg) = (OCna + rn) / (OGna + rg) = rn / rg
所以 Ln = 2n * rn (结论2)

上面的结论的证明简捷,很是值得玩味。——柳烟注。

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11784&k=66ecd9da34b0f41c2ed2c3065b83c34d&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-3 10:05

未命名(2).GIF
Pappus Chain 问题.gsp (6.39 KB)

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11793&k=3803f8083aa26d35aa86ae833f08b6db&t=1755429547&sid=NFCuHs



附件: Pappus Chain 问题.gsp (2011-5-3 10:05, 6.39 KB) / 下载次数 3742
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11794&k=0294b265d3afae0b20ef240315db8895&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: zxna    时间: 2011-5-3 18:27

用z-->z/(z-1) ConformalMapping3.gsp (16.49 KB)

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11799&k=d8e846718a8117af0d7f8503e2635e99&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: 榕坚    时间: 2011-5-3 20:51

18# 柳烟

修改一下往两边都画:
捕获.GIF

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11803&k=bd1d61e63d517fe1c1a7d8dfe2bda4e5&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-3 21:20

20# 榕坚
漂亮!接下来,如何再嵌套圆,我进了2#朋友提供的网站后,看不懂那公式,现在卡起了,如何读懂那网站的再嵌套圆半径的算法,迭代应该不存在大问题。
作者: 榕坚    时间: 2011-5-3 23:46

21# 柳烟


只填充了一块区域:

图片附件: 捕获.JPG (2011-5-3 23:46, 21.28 KB) / 下载次数 1395
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11817&k=269520fe7cea4d0e3e1ac41d22d0081f&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-4 00:03

22# 榕坚
榕兄能说说这区域的公切圆是如何填充的吗?谢谢。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-4 03:29

20# 榕坚
漂亮!接下来,如何再嵌套圆,我进了2#朋友提供的网站后,看不懂那公式,现在卡起了,如何读懂那网站的再嵌套圆半径的算法,迭代应该不存在大问题。
柳烟 发表于 2011-5-3 21:20
几何画板我只会“看”,偶尔“用”,但不会“玩”,ACAD和maple倒是玩得较好,链接网页的公式我替楼主细化一下:
夹圆1

001.gif

soddy圆

002.gif

解读1

003.gif

解读2

004.gif

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11820&k=dfd30d52975ae057f34b4184dc489d50&t=1755429547&sid=NFCuHs



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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11821&k=e7a0d8d2fb7b5cd7df7211bc0b1aa562&t=1755429547&sid=NFCuHs



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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11822&k=1c4ecaba3fbabf3093e7903e90b701e0&t=1755429547&sid=NFCuHs



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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11823&k=d4f673eb03a81980b7690f7705d3af84&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 榕坚    时间: 2011-5-4 07:22

23# 柳烟


就是那网页上的公式,大圆为单位圆。
作者: 榕坚    时间: 2011-5-4 07:40

24# yimin0519


解释的太到位了,我昨天是一直调整圆的位置,一拖动就变了。如果按这位置建坐标系就不需要调整了。现在剩下另外一侧的填充了。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-4 07:46

24# yimin0519
通过你的解释,这下明白了,能继续问题的解决了,你帮了咱的大忙,非常感谢。
看了榕兄的鞋匠的刀的两侧填充,也整一个。用坐标与半径进行迭代。
未命名(3).GIF
Pappus Chain.gsp (8.83 KB)

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11828&k=5ada8c3bc4be6afbfcf5fc2730f68f18&t=1755429547&sid=NFCuHs



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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11829&k=021788fa504232e260b3cd7d5da5d752&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: 榕坚    时间: 2011-5-4 11:38

27# 柳烟


这样又可以多填一个区域了。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-4 13:49

24# yimin0519
通过你的解释,这下明白了,能继续问题的解决了,你帮了咱的大忙,非常感谢。
看了榕兄的鞋匠的刀的两侧填充,也整一个。用坐标与半径进行迭代。
11828
11829
柳烟 发表于 2011-5-4 07:46
不客气。就是喜欢欣赏你们的大作!你们的研究精神让我感动,能为你们做点贡献“情有所值”!!
另外,花了不少时间求解了外侧三切圆的参数公式,供你们参考。(有时间再研究外侧soddy圆的公式。)

005.gif

注:计算机化简所用软件为maple7.0。

图片附件: 005.gif (2011-5-4 13:49, 21.89 KB) / 下载次数 1558
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11831&k=b20b33574d3f080d3a945293822695c4&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-4 13:51

又取得了点进展
未命名(4).GIF
Pappus Chain2.gsp (12.54 KB)

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11832&k=7a8dbdb6d4d0b5392a17beb28f5c1d04&t=1755429547&sid=NFCuHs



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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11833&k=b7a3054c01f6d4ca7d4e1c2ec4716f2b&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: 柳烟    时间: 2011-5-4 14:04

29# yimin0519
谢谢。目前用画板解决这鞋匠刀问题引出的圆的迭代,仅限于死用公式画出,这些公式的推导过程复杂,公式来历不明朗,先把图作出后,再慢慢推推。佩服你的数学功底与无私奉献,引用时一定遵照执行。有了这些公式,又可以多填几块区域了。
作者: 榕坚    时间: 2011-5-4 15:01

29# yimin0519
谢谢这些公式,又进了一步:

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作者: yimin0519    时间: 2011-5-4 15:23

呵呵,承蒙你们抬爱,那么我就不遗余力,将其它的公式推导出来!我已经又搞出一个小圆系列的公式了,还有两个正在推导,电脑配置太低,解一个方程要30多分钟!
作者: yimin0519    时间: 2011-5-4 18:36

历经7个多小时(含校验排版插图),终于搞定如此庞大复杂的公式的演算(电脑都快当机了):

006.gif

本公式在maple上已经进行验算,如有错误,只会发生在整形排版环节,应当没啥问题了。
如有差池,请以下面这个mht文件为准。

超文本文件.rar (37.04 KB)

注:如利用mht文件中的数据,请将结果乘以2R。

图片附件: 006.gif (2011-5-4 18:36, 40.89 KB) / 下载次数 1663
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11839&k=54b046f410263e74b87e948d1d06768e&t=1755429547&sid=NFCuHs



附件: 超文本文件.rar (2011-5-4 18:50, 37.04 KB) / 下载次数 3103
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11840&k=975a523c1fd6c377cd551fa399600993&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: 柳烟    时间: 2011-5-4 20:09

在yimin0519板友的帮助下,摆弄这鞋匠刀,不断取得进展。等半圆内的公切圆弄好后,我想整个圆内整应该不成问题。
2.gif
Pappus Chain 4.gsp (16.03 KB)

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附件: Pappus Chain 4.gsp (2011-5-4 20:09, 16.03 KB) / 下载次数 3411
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11845&k=30803a83889ed677e5a896e4cfbd0bb9&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: inRm    时间: 2011-5-4 20:10

柳烟厉害的。
作者: 榕坚    时间: 2011-5-4 20:16

34# yimin0519


辛苦了,总算填充地完美了.
作者: 柳烟    时间: 2011-5-4 20:28

36# inRm
yimin0519才厉害,没有他,这问题永远在黑夜里。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-4 20:53

在yimin0519板友的帮助下,弄这鞋匠的刀,不断取得进展。等半圆内的公切圆弄好后,我想整个圆内整应该不成问题。
11844
11845
柳烟 发表于 2011-5-4 20:09
想看看再加6个圆组的的效果,呵呵,兄台可否?
36# inRm
yimin0519才厉害,没有他,这问题永远在黑夜里。
柳烟 发表于 2011-5-4 20:28
没什么,只是卖了不少苦力!!搞的确实有点头昏眼花。若把解题过程整理出来,其文字代码演算部分都可打印好几部厚书了。

007.gif

图片附件: 007.gif (2011-5-4 21:14, 17.37 KB) / 下载次数 1623
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11849&k=b872b995a1b1454a2565d4c4b3d5664d&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-4 20:57

我正在发扬连续作战的光荣传统,争取将再加六个圆的效果作出,一定很美,诱惑大且让人感兴趣。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-4 21:16

我正在发扬连续作战的光荣传统,争取将再加六个圆的效果作出,一定很美,诱惑大且让人感兴趣。
柳烟 发表于 2011-5-4 20:57
呵呵呵,“重体力”苦活啊!!

期待中。。。。
作者: xiaongxp    时间: 2011-5-4 21:21

看到那一大堆公式就头痛,佩服三位的毅力,佩服三位的数学功力。
作者: 榕坚    时间: 2011-5-4 21:29

41# yimin0519
有了公式那是很快的,柳老师可能在干6组再加6组的。我这先把那6组的先放上,公式绝对准确,再次谢谢:

图片附件: 捕获.JPG (2011-5-4 21:30, 19.32 KB) / 下载次数 1808
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11852&k=1286bad642b0939785ae7a214009f9e6&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-4 22:44

43# 榕坚
还有外侧所夹的三个小圆,快要峻工了。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 00:12

多如繁星的计算式铺满了整个屏幕,总算峻工了。
2.gif
Pappus_Chain_问题5.gsp (35.17 KB)

图片附件: 2.gif (2011-5-7 11:16, 8.65 KB) / 下载次数 2307
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11859&k=8d7f005b7ab820402dbc2e93269f1b57&t=1755429547&sid=NFCuHs



附件: Pappus_Chain_问题5.gsp (2011-5-5 00:12, 35.17 KB) / 下载次数 3500
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11860&k=03095b226154560f4f120e695bee8ee8&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: yimin0519    时间: 2011-5-5 08:34

45# 柳烟

工程浩大,“硕果”累累,壮哉!!
天似穹庐,地没(mo)牛羊,加B点中担。一如射日喷发,亦如长虹飞天,她是生命的律动之“环”,他为父子相依的“情”节。


呵呵,过我尤甚,故不禁赞叹:楼主这个“肥皂泡”吹的不错!

008.gif

009.gif

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11861&k=7b0f58216deb12df480caf53e0002409&t=1755429547&sid=NFCuHs



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作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 08:37

我查了我昨晚的源文件,发现,当只往左边填充时,如果只往一侧填充,则没问题,但我发的图是往两侧填充,结果发现右侧迭代象有重迭,不知何故。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-5 09:22

我查了我昨晚的源文件,发现,当只往左边填充时,如果只往一侧填充,则没问题,但我发的图是往两侧填充,结果发现右侧迭代象有重迭,不知何故。
柳烟 发表于 2011-5-5 08:37
我水平太低,看不出其它缘故来:

!001.gif

!002.gif

瑕不掩玉,够可以的了。

我不会玩这么高深的迭代,猜想:针对那两组试试改为n-1个迭代看看。

又仔细看了看,发现:左侧所有小圆的迭代均多出了一个“非类”。

再看了看过往的文件:

!004.gif

!003.gif

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作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 12:45

原因已找到,上最后一图,原来是朋友在计算最外层三弧所夹一圆时的坐标公式,就是从你箭头所指的圆开始的。我正在修改文件,将其弄完美。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 13:13

更新后的35#文件如下:
未命名.GIF
Pappus_Chain(35楼文件更新).gsp (15.58 KB)

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作者: yimin0519    时间: 2011-5-5 15:48

原因已找到,上最后一图,原来是朋友在计算最外层三弧所夹一圆时的坐标公式,就是从你箭头所指的圆开始的。我正在修改文件,将其弄完美。
柳烟 发表于 2011-5-5 12:45
吓我一跳,害我花了一个多小时重新验证了一下所有的公式,公式没错啊。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 17:25

51# yimin0519
公式没有错误,正修改我的GSP,从昨天夜战到现在,都在造图。为你认真负责的精神所打动。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-5 17:49

呵呵,真难为你了,此题造图可否由反演迭代完成呢,似乎那样简单的多啊,至少计算量小的多得多。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 19:04

53# yimin0519
反演是个好办法,可当作课题研究。今将修改后的文件发此,看看还有啥问题。
Pappus_Chain(更新2).gsp (36.66 KB)
未命名(5).GIF

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作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 19:59

这鞋匠刀终于暂时可以画句点了,这是集体智慧的结晶,再次感谢yimin0519朋友提供的公式并付出的心血。
未命名(6).GIF
Pappus_Chain(更新3).gsp (40.25 KB)

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作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 20:14

Pappus_Chain(更新4).gsp (38.63 KB)
未命名(7).GIF

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作者: yimin0519    时间: 2011-5-5 20:46

这鞋匠刀终于暂时可以画句点了,这是集体智慧的结晶,再次感谢yimin0519朋友提供的公式并付出的心血。
11879
11880
柳烟 发表于 2011-5-5 19:59
景上添花,妙极啊。

顺述一点小常识,鞋匠刀是指图示填充部分。

010.gif

期待高手朋友将此课题以反演方式造图,那将又是另外一番风景啊:

011.gif


注:图中青色圆圈与绿色圆圈反演后的颜色颠倒了,有误导之嫌,特此语言更正。

图片附件: 010.gif (2011-5-5 20:46, 6.4 KB) / 下载次数 1633
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作者: 榕坚    时间: 2011-5-5 20:52

                             

图片附件: 8.gif (2011-5-5 20:52, 133.68 KB) / 下载次数 1506
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作者: yimin0519    时间: 2011-5-5 21:37

58# 榕坚

榕坚大师的拖出界外都仍保持完形,初始设置及k值的定义较为灵活,似乎棋高一着啊,呵呵。

可否览阅观读一下
作者: 榕坚    时间: 2011-5-5 21:56

59# yimin0519

附件: 命名1.gsp (2011-5-5 21:56, 27.79 KB) / 下载次数 2150
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作者: 榕坚    时间: 2011-5-5 22:00

57# yimin0519


有了这个图反演就不难了。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 22:14

60# 榕坚
确实棋高一着,下载学习。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 22:17

57# yimin0519
yimin0519朋友太谦虚了,感觉到你才是大师级人物,哈哈……你给出的图重要,导师,真正的导师。
作者: xiaongxp    时间: 2011-5-5 22:29

太精彩了!这几天我简直是屏住呼吸看着三位的讨论,将论题一步步推向了成功。
为你们喝彩!强悍的“3木(、yimin)”组合!
yimin0519在57#的观点高屋建瓴,非常欣赏和钦佩yimin0519的数学功底。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-5 22:34

60# 榕坚


客气。笑纳了!
作者: yimin0519    时间: 2011-5-5 23:02

太精彩了!这几天我简直是屏住呼吸看着三位的讨论,将论题一步步推向了成功。
为你们喝彩!强悍的“3木(柳、榕、yimin)”组合!
yimin0519在57#的观点高屋建瓴,非常欣赏和钦佩yimin0519的数学功底。
xiaongxp 发表于 2011-5-5 22:29
57# yimin0519
yimin0519朋友太谦虚了,感觉到你才是大师级人物,哈哈……你给出的图重要,导师,真正的导师。
柳烟 发表于 2011-5-5 22:17
呵呵,我用AutoCAD倒是有些年头了,遇上数学问题喜欢用maple来研究。反演知识明白些许。
接触几何画板尽管有十几年了,但一般只是把它作为插图工具而已,偶尔用来研究一下轨迹问题。迭代这一块从来就不曾染指,看样子得好好向你们学习学习才行。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-5 23:05

现在坛子上的反演工具,好象缺过反演幂圆心的圆的反演图形(直线)这工具(圆线反演工具),已经有点点、线圆与圆圆反演工具,当务之急,先造好线圆反演工具。
圆反演成直线工具
Chain反演成Line工具.gsp (15.65 KB)

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11890&k=860db97ba2988199feb1f4a606676aff&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: 榕坚    时间: 2011-5-5 23:43

57# yimin0519
确实轻松多了,至少省掉了那些繁杂的计算输入,之前19#zxna提示过。
捕获.GIF

图片附件: 捕获.GIF (2011-5-7 11:26, 30.03 KB) / 下载次数 1655
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11889&k=71928d119d579c638479490ad9e7f7be&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-6 00:11

确实庄老师提示过,奈何数学丢得差不多了,没看懂,现在懂了点。书到用时方恨少,哀哉!太疲倦了,明天再来用反演作这习题——鞋匠刀。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-6 00:16

57# yimin0519
确实轻松多了,至少省掉了那些繁杂的计算输入,之前19#zxna提示过。
榕坚 发表于 2011-5-5 23:43
反演迭代?!好快的手法!!

呵呵,看你图上n=45,只怕右侧等圆组迭代高度也快到南天门了。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-6 00:57

现在坛子上的反演工具,好象缺过反演幂圆心的圆的反演图形(直线)这工具(圆线反演工具),已经有点点、线圆与圆圆反演工具,当务之急,先造好线圆反演工具。
圆反演成直线工具
11890
柳烟 发表于 2011-5-5 23:05
圆反演到线步骤不多,不是很麻烦吧:

013.gif

二圆相交被反演的圆反演后的直线就是过该两圆交点的直线,与本题研究不便也不搭界。

反演前后的对象,在同一反演规则中,他们二者互为反形。可能我那张图误导了柳烟老师,本帖似乎只需要用到圆反演为直线【即将外大圆和两内切圆中的一个(不妨假定为左侧的那一个)反演为直线】,方法是以外大圆直径左端点反演中心,以任意反演半径(应当是大于或等于外大圆直径的为好,像68楼榕坚老师那样)将外大圆和左内切圆反演成居右的两条垂直于外大圆直径的平行直线。两平行线的距离按照反演规则自然就是右内切圆反演后的反形圆的直径。将该反形圆在两平行线间垂直方向上叠累,并派生2个LCC、1个CCC阿氏圆,同样累叠,最后在这同一反演规则下,将两平行线所夹所有对象反演回原外大圆内即可(当然,迭代是必须的,呵呵,我不会玩迭代,要不然也没这么多废话了)。
注:LCC(L直线,C圆)代表直线-圆-圆,即作与一直线、两圆相切的圆,CCC类推。阿氏圆可由几何作图法或计算法得到(这类计算也极为简单)。

图片附件: 013.gif (2011-5-6 01:04, 11.47 KB) / 下载次数 1290
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11894&k=f6da62aee6a60e6ba58be6dedbb82d79&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-6 08:17

71# yimin0519
受教,看了你的圆反演成线的作图后,收获不小。反演是最近根据此坛上的板友推荐的平面几何电子书学的,不太熟练。今将你的作图制成工具,方便以后作图用。
Chain反演成Line工具(更新).gsp (4.8 KB)
文件仅4.8K,比前面我公布的那个好!

经飞扬老师提醒,此工具不具一般性,大家在用时,注意条件。之前发的工具,我看了,我认为没问题,大家再帮忙看看,以免误导,造成罪过。————柳烟

附件: Chain反演成Line工具(更新).gsp (2011-5-6 08:17, 4.8 KB) / 下载次数 3147
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11897&k=8e5829cf8a243d14d2196777e9ce8e53&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: xuefeiyang    时间: 2011-5-6 12:02

这个工具是有误:当两圆内含时可以,当两圆相交时,这个工具就失效了!请再检查一下。另论坛上已有正确且通用的工具。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-6 12:30

73# xuefeiyang
此工具是有问题,请问飞扬老师,将过反演中心的圆反演成直线的工具在何处?坛子上好象只有将直线反演成经过反演中心的圆。谢过飞扬老师的点醒,此工具对解决内半圆不超出外半圆时鞋匠的刀问题好象可以,大家实践看看。
难怪我用此工具作出后,将内半圆拖离成外半圆时,图形怪怪的。原因原来在此,再次感谢。
67楼的反演工具没问题,我重新查看了,适合于任何情况。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-6 13:17

用67楼的反演工具,制造这鞋匠的刀:
未命名.GIF
学习圆迭代(反演法).gsp (20.15 KB)

图片附件: 未命名.GIF (2011-5-6 21:17, 9.84 KB) / 下载次数 1556
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11898&k=a0c9731e5b1587a7af6b36ac81df1d70&t=1755429547&sid=NFCuHs



附件: 学习圆迭代(反演法).gsp (2011-5-6 13:17, 20.15 KB) / 下载次数 3035
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11899&k=13c9a838c653f32025fe02ae406d8b6d&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: xuefeiyang    时间: 2011-5-6 13:45

74# 柳烟


changxde老师作的反演工具。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-6 13:50

76# xuefeiyang
知道了,非常感谢。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-6 18:07

71# yimin0519
受教,看了你的圆反演成线的作图后,收获不小。反演是最近根据此坛上的板友推荐的平面几何电子书学的,不太熟练。今将你的作图制成工具,方便以后作图用。
11897
文件仅4.8K,比前面我公布的那个 ...
柳烟 发表于 2011-5-6 08:17
呵呵,佩服柳烟老师的“倔”劲,我这里给做了一个通解的《反演C→L》工具,满足被反演圆内含和相交两种情况,鼠标操作三下即可。

反演C→L.gsp (4.21 KB) 【不带说明大小为3.17kb(3252字节)】

演示:

未命名.GIF

附件: 反演C→L.gsp (2011-5-6 18:07, 4.21 KB) / 下载次数 2736
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11903&k=d91c8ad6b73af1eef5fa22187dcd90e3&t=1755429547&sid=NFCuHs

图片附件: 未命名.GIF (2011-5-6 21:20, 4.27 KB) / 下载次数 1285
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11906&k=97a6e767baa9d7070a2695bd32eb5019&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: yimin0519    时间: 2011-5-6 18:30

用67楼的反演工具,制造这鞋匠的刀:
11898
11899
柳烟 发表于 2011-5-6 13:17
你的反演幂圆半径大于或等于基大圆的直径(亦为动态可变的)效果要好些,这样反演后的两垂直线始终居于大圆外侧在右边。
作者: zwh2010    时间: 2011-5-6 18:37

很完美的解决,看来以后还可以在这里讨论数学问题呢,如果那个图形里每个曲边三角形都填上圆,岂不更加壮哉,还有能否充分利用画板本身提供的原始工具把它做得跟简单些呢(如求轨迹交点,似乎直接的仅限于作出的直线和轨迹的交点。),我感觉要能找出较好的数值方法的话会省事些,对这个画板软件更有意义,至少对像我这样的初学又有点怕烦的会更感兴趣。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-6 18:43

板友们的帖子让我收获不少,试用反演将田野风老师的半圆内的双公切圆推广成作半圆内的公切圆串,此问题似比鞋匠刀问题复杂点,但挺有意思。
半圆内的公切圆串.gsp (10.12 KB)
70.GIF

附件: 半圆内的公切圆串.gsp (2011-5-6 18:43, 10.12 KB) / 下载次数 2466
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11904&k=31bc4d97b27079258d7d86058d758888&t=1755429547&sid=NFCuHs

图片附件: 70.GIF (2011-5-6 21:14, 10.93 KB) / 下载次数 1308
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11905&k=94a750fec7b16d4ede7ad1a97cdbf392&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: 柳烟    时间: 2011-5-6 18:45

80# zwh2010
如果将曲边三角形内填上公切圆,再住分出的更小的曲边三角形内再填公切圆,随着迭代的深入继续进行下去,这坛子上整过圆的极限集,就是这玩意。
作者: zwh2010    时间: 2011-5-6 18:54

好贴太多一时看不过来啊,人人气很旺,说明现在非常需要这样的论坛,有这个坛子真好!
作者: 柳烟    时间: 2011-5-6 19:02

78# yimin0519
工具作得不错,好用,体文件占用体积小,下载收藏并致谢。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-6 19:27

81# 柳烟

此图反演回去即可,这些圆组有无穷大和零半径,“鞋匠刀”只有相对恒定的圆直径,反演回去后有趋近于零的圆半径。

015.gif

图片附件: 015.gif (2011-5-6 19:27, 4.38 KB) / 下载次数 1036
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11908&k=4bd665a53f029b87023e93160e98f20e&t=1755429547&sid=NFCuHs


作者: yimin0519    时间: 2011-5-6 19:36

57# yimin0519
确实轻松多了,至少省掉了那些繁杂的计算输入,之前19#zxna提示过。
榕坚 发表于 2011-5-5 23:43
心里好痒痒,就是想一睹“真容”,不会玩,但又爱欣赏,呵呵,成全一下吧,榕坚老师。
作者: 榕坚    时间: 2011-5-6 20:34

86# yimin0519

附件: 名1.gsp (2011-5-6 20:34, 56.05 KB) / 下载次数 1552
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=11909&k=2e48bc395412792743402112b93f1f97&t=1755429547&sid=NFCuHs
作者: 柳烟    时间: 2011-5-6 21:16

未命名.GIF
鞋匠的刀(反演).gsp (48.77 KB)
我计算出了曲边三角形内所夹三小圆的半径,再住新曲边三角形内嵌上圆的半径,也能再搞几个,方法类似。

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作者: yimin0519    时间: 2011-5-6 22:33

87楼榕坚老师、89楼柳烟老师,拜阅了两位的大作,衷心地说一声:你们辛苦了!

    这个课题纠结了好几天,计算法是算完美了,但反演法的路还长,因为右侧的圆链依旧“空白”缺失。反形三小圆LCC、CCC间再补LCC、CCC阿氏圆局限于几何画板的数值精度和矢量显示维度难以再续。

   解决这个问题的办法,是右侧再开一个反演规则,即以基大圆直径的右端点为反演中心,反演幂任意,将第m个(m为防止重叠避开值,我试了一下,似乎m=3)圆到n个圆,反演回基圆内,即可避免右侧圆链空白。

   两位大师如有兴趣和时间,不妨将革命进行到底。反正杀了两头牛,再宰一只羊也不打紧吧,呵呵呵。

016g.gif

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作者: 柳烟    时间: 2011-5-6 23:22

有趣,这圆的迭代胡乱弄之:
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作者: yimin0519    时间: 2011-5-6 23:53

有趣,这圆的迭代胡乱弄之:
11921
柳烟 发表于 2011-5-6 23:22
柳烟老师找到不二法门了吧,呵呵。

用ACAD画一个:

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作者: 榕坚    时间: 2011-5-7 09:41

91# yimin0519


这个圆的迭代留给人无限的暇想,太漂亮了。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-7 10:04

真是越扯问题越多,问题越多,并非坏事。二楼已推出夹在三半圆间的曲边三角形的公切圆半径为:r1=ab(a+b)/[a^2+b(a+b)],我在解决另一重大问题时,将问题转化为解决这个问题:若已知两外切圆的半径分别为a 、b,这两圆的公共内切圆的半径为c,则夹在曲边三角形内的公切圆半径r 的公式是什么呢?
作者: inRm    时间: 2011-5-7 11:00

91# yimin0519
是用Lisp编程实现的吧?牛人!
作者: yimin0519    时间: 2011-5-7 11:38

94# inRm

回大斑竹,纯手工画的,示意而已,几分钟就搞定了。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-7 11:42

真是越扯问题越多,问题越多,并非坏事。二楼已推出夹在三半圆间的曲边三角形的公切圆半径为:r1=ab(a+b)/[a^2+b(a+b)],我在解决另一重大问题时,将问题转化为解决这个问题:若已知两外切圆的半径分别为a 、b,这两 ...
柳烟 发表于 2011-5-7 10:04
若已知两外切圆的半径分别为a 、b,这两圆的公共内切圆的半径为c,则夹在曲边三角形内的公切圆半径r 的公式是什么呢?

没明白加粗语句的意思,画个示意草图看看,我想,我能搞定它的计算公式。
作者: 柳烟    时间: 2011-5-7 13:42

96# yimin0519
解释一下:
未命名.GIF

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作者: yimin0519    时间: 2011-5-7 14:53

97# 柳烟


有两解,A、B位置随意:


柳.gif

似乎这样书写工整些:

柳01.gif

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作者: 柳烟    时间: 2011-5-7 15:04

98# yimin0519
辛苦了,谢谢!我干了几个钟点,手算,越算越复杂,越算越昏,拿不出结果来,这下好办了。
作者: yimin0519    时间: 2011-5-7 15:14

98# yimin0519
辛苦了,谢谢!我干了几个钟点,手算,越算越复杂,越算越昏,拿不出结果来,这下好办了。
柳烟 发表于 2011-5-7 15:04
这个表达式好用,从结构上来看,她是轮换表达式,物理意义是:不管⊙A、⊙B直径大小如何,也不管他们的位置如何,只要有这两个外切的东西内含且切在大圆A内就可以了。结果在未推导出来之前我也没想到此公式如此漂亮与华丽!




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