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标题: 【求助】直线与圆的证明题 [打印本页]

作者: shengp 时间: 2011-9-12 11:47 标题: 【求助】直线与圆的证明题

相切问题。已知一半径为1，圆心为（0,1）的定圆上有A，B两点，且OA*OB=1，请问是否存在一定圆与直线AB相切。

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作者: inRm 时间: 2011-9-12 12:13

这题目肯定抄错了

作者: 周传高 时间: 2011-9-12 12:28

条件不明确！“是否存在一定圆”，什么定圆呢？

作者: liyougui 时间: 2011-9-12 12:47

试题是正确的，存在半径为0.5，O为圆心的圆

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作者: 周传高 时间: 2011-9-12 13:11

那就要说，“圆心为（0,1）的定圆上任意A，B两点，满足OA*OB=1，请问是否存在一定圆与直线AB相切。”。表述实在是让人不明确，猜猫样的。

作者: 周传高 时间: 2011-9-12 13:26

这个题目用几何表达式来作那是简单一个。

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作者: liyougui 时间: 2011-9-12 16:52

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作者: yimin0519 时间: 2011-9-12 20:23

7楼得的解析证明过程无疑是对的。
所求定圆确实是这样的，但圆心的来历感觉有点突兀。能否不失一般性地去证明呢？

作者: shengp 时间: 2011-9-12 21:39

谢谢各位的指导！题目我在表述的时候确实说得有些不明确，让大家费心了！

作者: uuu 时间: 2011-9-13 09:52

确实为园：

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作者: zhchgao 时间: 2011-9-13 10:41

这个题目用几何表达式来作那是简单一个。
周传高发表于 2011-9-12 13:26

从这个几何表达式的演示中明显看出，A、B的活动范围有限制的。

明显地：
OA、OB线段存在时具备条件：2≥t≥0.5 。即线段的长度不小于0.5又不大于2。在这个范围内两线段存在，同时与AB相切的圆也存在。
这一个题目细究一下还是有价值的。

作者: liyougui 时间: 2011-9-13 11:05

10楼的证明，简单漂亮，用到最本质的，三点共圆（正弦定理），以及定值，
确实如8楼所说，怎么知道圆心就是那个定点的

作者: zhchgao 时间: 2011-9-13 15:23

关于原点是那个定圆的圆心的问题是探究出来的。
（1）首先考虑最特殊情况，OA与OB长度都是1时，存在一个半径为0.5的圆心在原点处的切圆。
（2）当OA≠1时，且2≥OA≥0.5 ，由于原点到直线AB的距离由8楼的公式得出恒等于0.5 。
所以过原点半径等于0.5的与AB相切的定圆是存在的。

作者: zhchgao 时间: 2011-9-13 17:18

使用几何表达式软件还可以进一步探索。如果这个固定圆存在，由于A、B运动位置的平等性则圆心一定在y轴上。让圆心的坐标为（0，l）即可。探索发现：保证圆与直线AB相切，则圆的半径在l不为零时不固定。

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作者: liyougui 时间: 2011-9-13 17:44

OA=0.5时，OB=2这时有两条直线，当OA=OB=1时这时有一条直线，与这三条直线相切的圆，有四个，然后选择，那个满足条件。

作者: 周传高 时间: 2011-9-13 18:53

几何表达式中，看让t=0.5极限位置出来了，太方便了。

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