inRm3D: 画板论坛 - Powered by Discuz! Board

标题: Mandelbrot集可视化实验与思考 [打印本页]

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-15 20:56 标题: Mandelbrot集可视化实验与思考

直觉和逻辑原则下的实践
无标题.jpg

图片附件: m-dem1.GIF (2011-12-16 11:25, 18.94 KB) / 下载次数 2806
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15709&k=7152def1ecd4e4054be8a248a1094a9a&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 无标题.jpg (2012-3-5 16:33, 69.33 KB) / 下载次数 3106
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16484&k=5f4a3f31f5d31bd4577905f750c68358&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-15 21:21

1、扫描框架篇：注：本篇参考了changxde,xuefeiyang,xyj200909,zxna等老师的作品。大序号文件可能用到小序号文件。

附件: 从头学分形-4小扫描圆形框架工具.gsp (2011-12-15 21:20, 13.69 KB) / 下载次数 4283
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15710&k=4e6c9996c3fb923a2fbc2e406f35ab28&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-0常数.gsp (2011-12-15 21:20, 2.78 KB) / 下载次数 4109
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15711&k=4e4fdc3639d52827296414989f431a87&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-0常数工具.gsp (2011-12-15 21:20, 2.86 KB) / 下载次数 4053
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15712&k=45c9136b14522cb316cc9840fcc82364&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-1简易扫描矩形框架.gsp (2011-12-15 21:20, 7.28 KB) / 下载次数 4141
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15713&k=33617fba1fe0f66259af48f6b8900de9&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-1简易扫描矩形框架工具.gsp (2011-12-15 21:20, 10.62 KB) / 下载次数 4252
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15714&k=52626a69788ca7aca50737f1eb7be48d&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-3可变框架.gsp (2011-12-15 21:20, 7.81 KB) / 下载次数 4101
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15717&k=8084bbc71b0c77309c1b5eb7bb8c1302&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-3可变框架原理.gsp (2011-12-15 21:20, 8.17 KB) / 下载次数 4096
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15718&k=aa5e6be401bf2315d3e1895eb485c5c5&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-3可变框架之工具文件.gsp (2011-12-15 21:20, 14.75 KB) / 下载次数 4163
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15719&k=20b34f7d133f236e8f75fbcf896ce92a&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-4小扫描圆形框架.gsp (2011-12-15 21:20, 8.05 KB) / 下载次数 4123
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15720&k=d5997b3d5c81d6fee95cc518765eeb92&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-2小扫描矩形框架.gsp (2011-12-15 21:36, 11.61 KB) / 下载次数 4185
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15721&k=4e95c7ad07959eaa3bb88427ae312432&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: 榕坚 时间: 2011-12-15 21:44

其实我觉得最实用的扫描框架只要能定位，放大，预览就足够了。

作者: 柳烟 时间: 2011-12-15 22:47

我也喜欢简单大方的扫描框架，按钮太多，功能太多，整个画面凌乱，让人无所适从。不过，人们各有所好，大家按其所好玩好分形，乐之就好。
我最近也是回到了原点，支持梅老师，扫一个M集z^2+c，将z定位于c点，其实将z定位于c^2+c……均可。

图片附件: 未命名.jpg (2011-12-16 11:26, 32.62 KB) / 下载次数 3019
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15722&k=d28e991915b2255a6fbfe4fd6edcfce0&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: dyk 时间: 2011-12-16 09:39

4# 柳烟
非常漂亮，赞一个。

作者: dyk 时间: 2011-12-16 09:49

为了新朋友，最好简明扼要的介绍一下制作方法，这样便于推广，使更多的朋友参与画板分形。推动画板分开形向更高峰迈进。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-16 13:27

6# dyk

每类文件至少有两个文件，目的就是方便大家交流。对于想学分形的老师这就够了。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-16 13:29

3# 榕坚
4# 柳烟

各种扫描框架我都做了，可按需加载，另一个方面通过框架制做复习其它知识，这些东西另有它用，这是最主要的。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-16 17:24

2、定位与放缩篇：参考了changxde,xyj200909老师的作品。
可将扫描框架按需加载到定位与放缩文件中，方法是将扫描框架中的扫描中心和定位与放缩的扫描中心合并。

附件: 从头学分形-5定位与放缩.gsp (2011-12-16 17:24, 16.18 KB) / 下载次数 4347
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15738&k=76c0c8ba6e7d619edc02797442734061&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-5定位与放缩工具文件.gsp (2011-12-16 17:24, 13.94 KB) / 下载次数 4121
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15739&k=cfd63d7ee3382bd7e994a4a5a92575d4&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: xiaongxp 时间: 2011-12-17 10:34

期待梅兄的精彩演绎。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-17 13:37

10# xiaongxp

没有什么新内容，只是在学习大家的作品时，捋一下思路，重新温习一下而已。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-17 15:33

什么是Mandelbrot集合？
Mandelbrot集合用复二次多项式f(z)=z^2+c来定义，其中c是一个复参数。把z=0代入f(z)进行计算得函数值c，把此次函数值c做为自变量z新的取值代入f(z)进行计算得函数值c^2+c，再次把此次函数值c^2+c做为自变量z新的取值代入f(z)进行计算得函数值(c^2+c)^2+c……如此反复计算，我们把这一计算过程称为迭代，通过不断地迭代可以算出一系列的函数值。
将这一系列函数值用复平面上的点Z0, Z1, Z2, …Zn,…表示出来，现在我们考察Zn离原点的距离，即abs(Zn)，也就是Zn的模。如果无论经过多少次运算，即n趋向无穷时，abs(Zn)是有限的，即abs(Zn)不趋向于无穷，就说C点属于Mandelbrot集。反之如果经过有限次数的运算之后，abs(Zn)可超过任意给定的值，那么就说C点不属于Mandelbrot集。所有这样的c组成的集合叫做Manddelbrot集。
一个给定的复数c或者属于Mandelbrot集合M，或者不属于。比如，取c = 1，那么这个点列就是(0, 1, 2, 5, 26, ...)，显然它的值会趋于无穷大，所以１不属于M集；而如果取c = i，那么点列就是(0, i, -1+i, -i, -1+i, -i,...)，它的值会一直停留在有限半径的圆盘内，所以它就属于M集。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-17 15:35

思考（请板友帮我）：
1. M集就是当n趋向无穷时，abs(Zn)不趋向无穷的所有c点组成的集合，也就是使点集（Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…）有界的所有点c组成的集合，如何证明这里的不趋向无穷和有界的等价性？
2. 如何证明点集（Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…）有界性等价于abs(Zn)小于等于２？也就是如何证明M集中的c分布在半径为２的圆盘内呢？
3. 点集（Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…）有界性和收敛性不同，使点集不收敛的点c在M集的分布情况如何？使点集收敛的点c在M集的分布情况又如何呢？
4. 在M集和非M集之间，分界线在哪里？有没有一个明确的界线，将M集和非M集划分开来？或者说，能明确地给出这个界线的解析式吗？又或者说，有没有一个明确而简便的方法，使我们可以对任意一个复数C，给出其是否属于M集呢？
5. 如果没有这样的简单方法，也没有这样明确的界线。对于一个给定复数C，是否除了实际验算，就无法给出明确的答案呢？
6. 就算根据前面的定义实际验算，结论也是复杂的。如果经过一定次数的迭代运算，Z的绝对值超出了设定的常数R。那么很好，这个C不属于M集。
但也有可能，就算经过10000次运算，其绝对值还是很小。那么，就可以说C属于M集了吗？不一定！有可能，在接下来的10001次或以后，就可以发现Z的绝对值超出了R。
按理，上述迭代过程是个非常确定性的过程，而且很简单。所以，对于任意一个给定的C，其是否属于M集，应该是确定的。但实际上，对于某些C值，我们有可能无论经过多少次迭代，都无法给出结论，而我们又不能说，这个C就不属于M集了，因为说不定增加迭代次数，就发现超出R了。我有点迷茫和困惑了，这就是混沌吗？
７.　　　　M集是开集吗?

作者: 榕坚 时间: 2011-12-17 16:30

不敢想太多，能先弄明白M集内的实数点的最大与最小吗？也就是M集的边界与实轴的交点，。我估计它也只是一个极限值，如右交点：2，1，（-1+5^(1/2))/2,…………。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-17 16:58

14# 榕坚

8.如何证明M集和实数R集的交集是：[-2,1/4]呢？也就是当c是实数时，以上点集有界的充要条件是c属于[-2,1/4]。

作者: 榕坚 时间: 2011-12-17 18:56

我只知道(-2,0)属于M集。即C=-2时，点列为-2,2,2,2,2,……,最终收敛。

作者: 榕坚 时间: 2011-12-17 19:10

问题2的理解：当Z=0，|C|>2时，|C^2+C|=|C|*|C+1|>=|C|(|C|-1)>|C|，故发散。不知是否理解到位？

作者: 柳烟 时间: 2011-12-17 20:13

在下提一个问题，如何在M集的那个大乌龟肚内，再摆上一个小乌龟，形同怀孕？本人这两天弄来弄去，很不成气候。不知如何通过伸缩变换得到？

作者: 榕坚 时间: 2011-12-17 20:15

对问题2的看法：应该只能说当|C|>2时，Zn是发散的，但|C|<=2时，有些Zn是收敛的此时C的集合形成M集，有些Zn是发散的，在逃逸时间法中要不断地拖回，此时C的集合为逃逸区。

作者: 榕坚 时间: 2011-12-17 20:18

18# 柳烟

巷老师及常老师在这方面有作品了，还有之前UF中也有类似的作品，你不是弄了一个用两条扫描线的方法吗。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-17 20:59

18# 柳烟
将c乘以一个绝对值小于１的实数如１/3着色扫描。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-17 21:07

19# 榕坚

M集中除了收敛点外是否还有轨道混沌点呢？不然M集就应该定义为使Zn收敛的点c集合。我们说M集包含在半径为２的圆盘内，并不是说圆盘内的点都属于M集。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-17 21:19

17# 榕坚

abs(Zn)(这里n=1,2,......)小于等于２，点集显然有界。
点集有界推导abs(Zn)小于等于２，可否用反证法呢？
当|Zn|>2时，|Zn^2+C|=

作者: 柳烟 时间: 2011-12-18 10:21

21# mjj_ljh
此法用dem法免强，但用两根轨迹线扫描时，要错开，不然，后扫过来的轨迹线，将盖住前面轨迹线扫的图。如果扫一般的复分形，则麻烦大。不知捣空等势圈的办法行否，但这复杂化了。
不知一根轨迹线扫过去，就出现想要的效果？

作者: xiaongxp 时间: 2011-12-18 15:20

21# mjj_ljh
此法用dem法免强，但用两根轨迹线扫描时，要错开，不然，后扫过来的轨迹线，将盖住前面轨迹线扫的图。如果扫一般的复分形，则麻烦大。不知捣空等势圈的办法行否，但这复杂化了。
不知一根轨迹线扫过 ...
柳烟发表于 2011-12-18 10:21

用dem法，着色参数如此设置，即可错开不会覆盖：
草.jpg

例见http://www.inrm3d.cn/viewthread.php?tid=1386&page=40#pid31953

图片附件: 草.jpg (2011-12-18 15:20, 7.47 KB) / 下载次数 2462
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15752&k=566515ce55e0089198da4f13cb7a506c&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-18 15:37

改动常老师文件即可。

M集嵌套.gsp (8.39 KB)
为什么乘以3缩小，乘以1/3放大？

图片附件: 360截图20111218153404359.jpg (2011-12-18 15:37, 35.6 KB) / 下载次数 2197
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15753&k=2fa9eee7f7405a2e1042c30dfd3077d2&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: M集嵌套.gsp (2011-12-18 15:37, 8.39 KB) / 下载次数 3787
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15754&k=83fac0f315be79b8d19f125901ff676f&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-18 15:53

问题1思考：点集有界显然|Zn|不趋向无穷。
若|Zn|不趋向无穷，则存在一正数M，使|Zn|<=M,故点集有界。
点集中任一点不趋向无穷等价于点集有界。
点集有界和收敛当然有区别，M集中点c有的使点集收敛如-2，有的使点集发散如i.有界可以发散可以收敛，发散不一定有界，收敛肯定有界，这是我理解的三者关系。
点集被循环吸引和收敛有区别，如i.

此图说明了实数点c对应的点集行为，M集中有混沌点c.

图片附件: 481px-Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg (2011-12-18 17:45, 35.09 KB) / 下载次数 2183
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15756&k=7b4e9587b0580e37ac89f31aa95d59e9&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: 榕坚 时间: 2011-12-18 15:57

这个以前做过很多的：

图片附件: carr 1997-3.JPG (2011-12-18 15:57, 62.32 KB) / 下载次数 2390
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15755&k=731ce2e4a02ec766d3b0ff4aae6a7707&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: xiaongxp 时间: 2011-12-18 21:20

用嵌入扫描框架作一拖二嵌入M集

一拖二嵌入扫描M集.gsp (24.64 KB)

图片附件: 一拖二嵌入扫描M集.jpg (2011-12-18 21:20, 49.65 KB) / 下载次数 2446
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15757&k=44a8b0ab5c1aaaa8da067bc791c7a6e6&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 一拖二嵌入扫描M集.gsp (2011-12-18 21:28, 24.64 KB) / 下载次数 4158
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15758&k=6946bafff3478672872408263677a88c&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-18 21:41

28# 榕坚
29# xiaongxp
两位老师给点文字说明，解读文件太费神。

作者: 榕坚 时间: 2011-12-18 21:56

30# mjj_ljh

UF中的carr系列分形专门是关于各种变换的应用，那个图形应该是缩放变换，其实最近做的浮雕也算是其中一种（平移变换，只是着色特殊），利用判断函数控制在收敛域中再做缩小的M集。

作者: xiaongxp 时间: 2011-12-19 01:45

30# mjj_ljh
作的两个嵌入框架，实际上就是两个相似变换（如图）：

图片附件: 1.jpg (2011-12-19 01:45, 37.54 KB) / 下载次数 2873
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15762&k=8a779efdfe3150af543b00053bc6e32d&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: dyk 时间: 2011-12-19 16:20

构思独特且巧妙，佩服向老师的想象和创造力。

作者: 柳烟 时间: 2011-12-19 17:01

32# xiaongxp
问问向老师，每个嵌入的相似框中，都要弄一根轨迹线进行扫描吗？

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-19 20:09

问题2思考：|Zn|<=2则点集显然有界即c属于M集。
点集有界即c属于M集，则|Zn|<=2。
证明：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6 ... A%E9%9B%86%E5%90%88

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-19 20:47

问题3的思考：M集中的c点决定了点集｛Zn｝的特征。将M集分两部分考虑边界点和内部点。当点c位于M集内部时，点集的行为即轨道的行为最终被点吸引，被哪些点吸引呢？问题又来了。
当点c位于M集边界上时，轨道行为又怎样呢？混沌是一种可能，还有呢？分布在边界的什么地方？

作者: xiaongxp 时间: 2011-12-19 20:48

32# xiaongxp
问问向老师，每个嵌入的相似框中，都要弄一根轨迹线进行扫描吗？
柳烟发表于 2011-12-19 17:01

如果要把3个M集映到同一条扫描线上，需要加两个判断函数，使轨迹线难以走动。这种作法的好处是可以同步扫描，也可以分别扫描，而且大小方向可调。其实现方法既可用嵌入扫描框架，还可以用最近更新的工具“▲相似变换[角度设为弧度或方向度](点-点)【RL→R'L',反转否】”

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-19 20:48

问题7的思考：既然-2是M集的边界点，说明M集不是开集，那么它是非开非闭集？

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-19 20:58

问题9：M集外部点c使点集｛Zn｝趋向无穷，如何构造一个函数使无限远的点原路返回，在M集边界登陆呢？这条返回线可能就是外射线吧。
http://en.wikipedia.org/wiki/External_ray

图片附件: Man5period.jpg (2011-12-19 21:15, 23.93 KB) / 下载次数 2612
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15766&k=97c196d31d088a2bcd8c261f09e348c5&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: 榕坚 时间: 2011-12-19 21:07

收获不小，学到许多新东西。可是越想头脑越混沌，到现在还是没有弄明白边界上的小M集内部是否与大M集内部连通，因为之前看到在M集内部倒水可以充满M集，那么小M集与大M集内部就应该是连通的啊。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-19 21:15

40# 榕坚

榕兄有空帮我多想想，或多搜搜。

作者: changxde 时间: 2011-12-19 21:49

35# mjj_ljh

我们确实需要研究一下M集了，谢谢梅老师开此贴。
维基中那个思路很好，不过证明还不够严密，就是这个：

图片附件: xx.jpg (2011-12-19 21:49, 24.55 KB) / 下载次数 1982
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15768&k=e1f831fbd7fa9a52af130d76c3d29bec&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: zwh2010 时间: 2011-12-19 23:04

42# changxde

是有点不严密，少说个上界，不过这个容易说明的：若有上界则|zn|收敛，设其极限为x,由|Zn+1|=|Zn^2+c|得|Zn|^2-|Zn+1|<=|c|,再取极限得x^2-x<=|c|,这不可能，因为x>|c|>2.
我觉得作者也可能认为明显所以没写，或者其并非基础数学专业。

作者: 柳烟 时间: 2011-12-20 08:59

看大家的理论思考，太有意思。有个别的论说通俗得好，一听就明白，学了很多东西。然数学，丢还给老师太多了，惭愧得紧。不过谢谢个位，让我明白了不少。最初爱上分形，是觉得扫出的图片颇有吸引力，现在才明白欠缺的太多太多。

作者: 柳烟 时间: 2011-12-20 10:54

板友们当旗手，我当个号手。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-20 15:28

43# zwh2010
先单调有界数列性质。
然后|Zn|^2-|Zn+1|<=|c|,再取极限得x^2-x<=|c|，这用了什么性质？

作者: zwh2010 时间: 2011-12-21 12:46

46# mjj_ljh

数列极限的四则运算即可，如An、Bn的极限为a、b,则An^2-Bn的极限是a^2-b.

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-21 13:41

47# zwh2010

是这样，但我想知道的是小于等于成立的原因。
直觉和逻辑我认为是数学思维的两大基石，也是我思考M集的两大基本原则。两者同等重要，相互联系，对于中学教学来说，前者我认为更重要，所以教学中我时刻牢记这两点总原则。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-21 19:25

40# 榕坚

问题10 M集连通性已证明，局部连通性仍是数学界的一个猜想。请老师们通俗的用例子解读一下连通性和局部连通性的含义和关系？谢谢。
问题11 M集为什么从临界点Z=0开始迭代？

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-21 19:54

问题2的再思考：
网上搜的：

图片附件: M集证明.JPG (2011-12-21 19:54, 30.14 KB) / 下载次数 1972
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15798&k=b7edab069de920fcffa5dc48a241282b&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: 榕坚 时间: 2011-12-21 20:15

50# mjj_ljh

我觉得用对任意n，｜Zn+1|>=|Zn|>=|C|r^n更能说明发散。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-21 20:29

3、复变函数篇
用了常老师的工具。
哪位老师能给出文件中例子的证明。到处是问题上，只恨自己太笨。以前没好好学习。

从头学分形-e^z的几何特性.gsp (35.5 KB)
复变函数工具主要有常老师和向老师两个版本工具，已经很完备了。
可以按各函数定义按搭积木法构造而成,多值函数取主值。
我现在想利用这些工具研究它们有趣的几何特性，大家试试。

附件: 从头学分形-e^z的几何特性.gsp (2011-12-21 20:29, 35.5 KB) / 下载次数 3549
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=15799&k=be66ac1376d399082fee35a36dca269e&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-21 20:33

51# 榕坚

这当然，这个证明更简洁。不知有无逻辑问题，我没发现，常老师看看。

作者: zwh2010 时间: 2011-12-21 21:28

48# mjj_ljh

如果An有极限a,且任意的An<=b,则显然有a<=b。证明可根据极限的性质，若a>b,则数列An从某项开始全部大于b.

作者: zwh2010 时间: 2011-12-21 21:40

52# mjj_ljh

这个只是根据e^z的定义得出的，e^(a+bi)=e^a*(cosb+i*sinb)。应该是大家熟悉的吧

作者: changxde 时间: 2011-12-21 22:09

53# mjj_ljh
这个证明很简单，要说逻辑问题，就是它的基础是几何级数的发散条件。
另外维基中的证明也很好，很全面，不严密的一点可以补上，还有那也是最近编辑的。

我给他补上了，看看合适不，不合适再改。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-22 13:32

谢谢两位老师。非常感谢。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-22 14:19

4、逻辑计算：
用画板制做分形常进行各种逻辑计算，好在这些计算都被常老师和向老师做成了工具，还有画板官网上的工具，加起来共三个成熟和完备的版本。
为了方便我将与或非简单的理解为乘加减，当然这不科学，比如你不能说1+1=2，只是方便适合我而已。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-22 14:53

5、M集的可视化：
有了前面的思考（当然这个思考一直要进行下去，可能有些没有结果）和4类工具，下面可以进行M集可视化的实践了。理论和实践两条腿走路，否则有点乏味。
M集可视化算法本版有很多，且变化无穷，另人眼花缭乱，有点喘不过气来。俗话说万变不离其宗，抓住根本坐怀不乱。一抓逃逸时间算法（et）和距离估计算法（dem）,二抓着色算法。归根到底是着色算法，因为各算法和变化都是为了得到各种着色参数。总结一下着色参数两类：1、迭代象：逃逸时间et、迭代终点Zn、估计距离D，2、自由参数：a、b、c。由这两类参数可以变化出无数种着色函数。比如可以用两点的迭代象等。
color=f(et,Zn,D,a,b,c)

作者: mjj_ljh 时间: 2011-12-22 16:01

问题12 为什么mandelbrot偏偏选中二次函数族中的z^2+c研究呢？只因为它形式简单吗？

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-10 19:09

小扫描矩形框架文件修改了一下，原文件删除，主要解决扫描速度不平稳问题。

从头学分形-2小扫描矩形框架修改文件.gsp (10.28 KB)
本贴主要采用模块化思想，层层加载，然后按需做小改动。
在定位与缩放文件中加载扫描框架文件，加载方法可用工具文件或复制粘帖，然后合并扫描中心，形成扫描平台。接下来加载ET算法文件或加载ET-DEM算法文件，再接下来加载色带文件。然后扫吧！
未命名.JPG

附件: 从头学分形-2小扫描矩形框架修改文件.gsp (2012-1-10 19:09, 10.28 KB) / 下载次数 3930
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16068&k=957574d525be191f3916c5a90b3be11b&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名.JPG (2012-1-10 20:07, 13.52 KB) / 下载次数 1992
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16071&k=27f90846a316565d8eadb7d8198711ab&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名.JPG (2012-1-10 21:13, 43.13 KB) / 下载次数 1977
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16074&k=e679efcb9c8a28967b2b9dc7ea87cac9&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-10 19:25

6、逃逸时间（ET）算法。

et算法.gsp (7.93 KB)

et算法工具.gsp (14.32 KB)
这是M集可视化算法的核心文件。要仔细解读。
对逃逸时间ET我是这样理解：以原点O为圆心r为半径作圆，当点c在圆内时，在力f的作用下（我将二次函数f=z^2+c看做力，物理本来就用F表示力）走出圆若需走三步，则该点c的et为3，若r加大走出圆的步子就需增多，则et变大，越靠近圆周走出圆的步子越少，表现为et越小，当处在圆外时，不用走一步就已经在圆外了，故et为0。当然有一种情况是无论走多少步也走不出圆外，则该点属于m集，et为迭代次数n。当然你也可以不画圆，画其它图形，这通过改变p的算法实现，这时ET也将变化，因为走出该图形的步子发生了变化。这样你对n、r、p、et就有了理解。P0的作用是提取et。Z0必须定位于0点，是因为该点为临界点，做其它M集也要将Z0定位于临界点（即f'(z)=0的零点），否则做不出M集。为什么必须定位于临界点，我的感性理解是该点的瞬时变化率为0，从该点出发能看出函数f对点c连续作用的影响，排除了其它因素的干扰。具体原因我也不知道，知道的老师请告知。

附件: et算法.gsp (2012-1-10 19:25, 7.93 KB) / 下载次数 3534
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16069&k=ee646756ad33d79ae3f08634e8045b02&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: et算法工具.gsp (2012-1-10 19:25, 14.32 KB) / 下载次数 3662
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16070&k=1a63faa1908b083a8eef7f2e3d7762c6&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: 柳烟 时间: 2012-1-10 21:06

62# mjj_ljh
看上楼讲解，太受益了，非常感谢梅老师。

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-10 21:11

63# 柳烟

柳老师好，交流合作真好，你的UF文件我又要研读一阵子了。

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-11 13:59

问题13 Mandelbrot集的边界的维数为2，如何计算出来的？M集边界周长多少？M集面积多少？如何计算？
问题14 DEM算法中的距离公式如何得到的？

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-11 14:09

问题12的想法：
任何一个二次多项式f(z)=az^2+bz+c(a<>0)经过一个线性变量替换，可以变形为f(z)=z^2+c的形式，因此，只讨论多项式f(z)=z^2+c的迭代就行了。其它二次式迭代的M集相似于经典M集。

附件: et算法（az^2+bz+c）.gsp (2012-1-11 14:22, 12.22 KB) / 下载次数 2798
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16094&k=7f782daa41e8154d4105312e8ab610be&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: xiaongxp 时间: 2012-1-11 14:10

问题14 DEM算法中的距离公式如何得到的？
mjj_ljh 发表于 2012-1-11 13:59

这涉及所谓势函数，这段文字可能回答了此问题，但太简短了，似懂非懂的：
http://iquilezles.org/www/articl ... istancefractals.htm

作者: xiaongxp 时间: 2012-1-11 14:12

61# mjj_ljh
梅兄是怎样做到如此细而连贯的

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-11 14:26

68# xiaongxp

DEM，文件处理好一并上传，我想把本帖中的文件尽我所能做到成熟又干净，方便大家。

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-11 14:28

67# xiaongxp

谢谢向老师的资料。人多力量大。

作者: 榕坚 时间: 2012-1-11 15:10

问题11的M集周长那肯定是无限长的，至于面积肯定有极限值。

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-11 15:26

7、et-dem算法：
DEM/M =Distance Estimation Method for Mandelbrot set = Milnor algorithm
距离估计法是刻画M集边界较成熟的算法，它的速度相对来说较快，精确度高，因此是刻画边界的最佳方法。对于该方法，关键是距离dist的计算，经过反复实验用以下两个公式都行，但公式2更好，它可以用于广义M-J集。公式具体含义看文件。
1、dist0 = 2 * |Z0| * log|Z0| / |d0|

2、dist1 = 2 * |Z1| * log|Z1| / |d1|
未命名.JPG

附件: dem不带拉回数据文件.gsp (2012-1-11 15:26, 13.84 KB) / 下载次数 2824
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16096&k=807ccc4e5b539e8fbb076288a9d0a5dc&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: et-dem算法.gsp (2012-1-11 15:26, 21.41 KB) / 下载次数 2858
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16097&k=c9af0cdc45352f749c5f1879e1d2d475&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名.JPG (2012-1-11 22:15, 50.28 KB) / 下载次数 2136
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16100&k=4cd23442d7e64128508b4c19af7de2b0&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-12 20:10

问题15 dem能用来刻画N集的边界吗？若能算法如何呢？

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-12 20:24

8、分次迭代
如何提高扫图速度呢？分次迭代或叫接力迭代是可行的方法。它可以对逃逸区和收敛区提前结束迭代。对于边界附近的点，它是否属于M集必须有足够的迭代次数，且放大倍次越高，或说点的精确度越高的边界点它是否属于M集就越需要足够的迭代次数，所以分次迭代对边界点的提速也无能为力，这也就是为什么放大倍数越高速度越慢，分枝越多越靠近边界速度越慢的原因。
前面的456问也可以说明边界点附近扫图速度为什么慢：
4.       在M集和非M集之间，分界线在哪里？有没有一个明确的界线，将M集和非M集划分开来？或者说，能明确地给出这个界线的解析式吗？又或者说，有没有一个明确而简便的方法，使我们可以对任意一个复数C，给出其是否属于M集呢？
5.       如果没有这样的简单方法，也没有这样明确的界线。对于一个给定复数C，是否除了实际验算，就无法给出明确的答案呢？
6.       就算根据前面的定义实际验算，结论也是复杂的。如果经过一定次数的迭代运算，Z的绝对值超出了设定的常数R。那么很好，这个C不属于M集。
但也有可能，就算经过10000次运算，其绝对值还是很小。那么，就可以说C属于M集了吗？不一定！有可能，在接下来的10001次或以后，就可以发现Z的绝对值超出了R。
按理，上述迭代过程是个非常确定性的过程，而且很简单。所以，对于任意一个给定的C，其是否属于M集，应该是确定的。但实际上，对于某些C值，我们有可能无论经过多少次迭代，都无法给出结论，而我们又不能说，这个C就不属于M集了，因为说不定增加迭代次数，就发现超出R了。我有点迷茫和困惑了，这就是混沌吗？

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-12 20:32

我想到的三种方案：
说明：分次迭代受uuu老师和雪飞扬老师启发，特表示感谢。
1、et做为特征值。
2、et和|Zn-1Zn|做为特征值。
3、et和qn做为特征值。
具体含义见文件。
方案3最快。随着放大倍数的加大3种方案对边界点附近的扫图速度相差不大（好象方案3略快），原因如上分析。遇到“乌龟”就慢。且“乌龟”越大越慢。

et-dem分次迭代文件et.gsp (88.01 KB)

et-dem分次迭代文件qn.gsp (88.4 KB)

附件: et-dem分次迭代文件qn.gsp (2012-1-12 20:44, 88.4 KB) / 下载次数 4200
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16108&k=4c184e3e96c1cd57a24dd0789462577d&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: et-dem分次迭代文件et.gsp (2012-1-12 20:49, 88.01 KB) / 下载次数 4443
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16109&k=c2634c058c38ac29f1c20ee80034f798&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-12 20:46

问题16 什么特征值能加快边界点附近的扫图速度呢？

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-12 21:19

大家可以测试一下各种算法的速度：
关键参数：动画速度为0.1，轨迹为细线连续取样500，迭代次数1000到1300不等。
dem算法关键参数D=(0.002左右)除以(unit'/oo'),放大倍数增大可以略微调整分子，分母不动，这是我总结的很重要的经验。

从头学分形-6简易矩形et-dem扫描平台.gsp (144.75 KB)

从头学分形-10矩形小扫描框架et-dem平台分四次迭代-M集et判断.gsp (51.97 KB)

从头学分形-11矩形小扫描框架et-dem平台分四次迭代-M集qn判断.gsp (55.4 KB)

附件: 从头学分形-6简易矩形et-dem扫描平台.gsp (2012-1-12 21:22, 144.75 KB) / 下载次数 4225
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16110&k=bd6f3d689994cc97d23064790f0a3f6d&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-10矩形小扫描框架et-dem平台分四次迭代-M集et判断.gsp (2012-1-12 21:22, 51.97 KB) / 下载次数 4360
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16112&k=ffc0a1442cbb9c293cb0aa204112da3b&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-11矩形小扫描框架et-dem平台分四次迭代-M集qn判断.gsp (2012-1-12 21:22, 55.4 KB) / 下载次数 3848
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16113&k=c127a3ad9343b40d1c7dd8a6a9332d64&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-14 19:38

方案2修改如下：

et-dem分次迭代文件(Zn-1Zn)修改.gsp (99.24 KB)

从头学分形-7矩形小扫描框架et-dem平台分4次迭代-M集Zn-1Zn判断.gsp (48.87 KB)

附件: et-dem分次迭代文件(Zn-1Zn)修改.gsp (2012-1-14 19:38, 99.24 KB) / 下载次数 4178
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16135&k=b8ac465453ea70752c82743893a9ddbf&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-7矩形小扫描框架et-dem平台分4次迭代-M集Zn-1Zn判断.gsp (2012-1-14 19:38, 48.87 KB) / 下载次数 4194
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16136&k=5ef3a60b65aea8c22294d8815b6d150e&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-14 19:41

方案3扫图：
未命名7.JPG

[attach]16139[/attach]

未命名4.JPG

图片附件: 未命名7.JPG (2012-1-14 19:38, 30.5 KB) / 下载次数 2315
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16137&k=0faf8b66f8e2b08fefccd27bf41ab547&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名6.JPG (2012-1-14 19:41, 63.78 KB) / 下载次数 2550
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16138&k=9018a181b4d65c82fc8d787d6bf4d0fd&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名4.JPG (2012-1-14 19:41, 31.35 KB) / 下载次数 2352
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16140&k=86616a21d67ef158530c1a708d4a397c&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名3.JPG (2012-1-14 19:41, 48.12 KB) / 下载次数 2344
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16141&k=bf738c37f7aa533f302e1fb6bf595749&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名2.jpg (2012-1-14 19:41, 49.31 KB) / 下载次数 2345
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16142&k=897f2020bec56a6bc021ef53fbd848f7&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名5.JPG (2012-1-18 19:59, 61.79 KB) / 下载次数 2607
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16175&k=b8760645b75f177aa6892ea2ecb95ed7&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: 榕坚 时间: 2012-1-14 21:16

79# mjj_ljh

太漂亮了，看了这些图就有扫图的欲望。

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-15 16:07

方案2升级：

et-dem分次迭代文件p'.gsp (112.56 KB)

从头学分形-7矩形小扫描框架et-dem平台分4次迭代-M集Zn-1Zn和p'判断.gsp (52.62 KB)
小结：几经测试，方案3最快，方案2升级次之，故一般用方案3扫图。方案3参数r'很重要，一般在0.001到4之间。方案2升级中的参数d2和r'作用一样一般在0.001到4之间，方案2中的参数d作用也一样。

附件: et-dem分次迭代文件p'.gsp (2012-1-15 16:07, 112.56 KB) / 下载次数 4021
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16147&k=a9509c25089fe888d7dab293102da768&t=1765209013&sid=9SsTmF

附件: 从头学分形-7矩形小扫描框架et-dem平台分4次迭代-M集Zn-1Zn和p'判断.gsp (2012-1-15 16:07, 52.62 KB) / 下载次数 4128
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16148&k=4ba4744858f86a46a768d4eeb82d7513&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2012-1-15 17:17

9、着色
着色模块就是一个函数，比较成熟的是chang老师的色带函数以及xuefeiyang老师在这基础上改造的色带函数，这在向老师的工具中有，在用的时候自己改造摸索规律。
着色主要考虑3部分，边界已由dem算法解决了，可以控制了，现在主要是内部和外部的着色的实验，内部着色现在柳老师和dyk老师也将它丰富起来了。
未命名.JPG

图片附件: 未命名.JPG (2012-3-8 11:19, 50.15 KB) / 下载次数 2474
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16155&k=3c22f0d74617940bbc9f9dd5450e20be&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名.JPG (2012-1-17 14:49, 48.75 KB) / 下载次数 2281
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16166&k=d90b14917deabf7d22c1db6f3cef0059&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名.JPG (2012-3-8 11:20, 47.42 KB) / 下载次数 2259
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16167&k=2ca253a74ae4a27f7c87bb478717467f&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名.JPG (2012-1-18 17:06, 49 KB) / 下载次数 2283
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16174&k=b6fef7207f4b2060e95c7cdadefd5d64&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名.JPG (2012-3-8 11:21, 39.25 KB) / 下载次数 2263
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16269&k=523b5d81538cf4f906415d8a8850fde2&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 未命名1.JPG (2012-2-7 19:22, 32.13 KB) / 下载次数 2270
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16270&k=dc126c7fd7826c8affd1af46dae63a08&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 360截图20120215140639312.jpg (2012-2-15 14:08, 49.17 KB) / 下载次数 2260
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16330&k=ce0f18fafadc7683ad6d6f10302a3783&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 无标题.jpg (2012-2-20 19:09, 129.93 KB) / 下载次数 2557
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16368&k=c7b5ab28c79002e80f58f8ae722b6a23&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2012-3-8 10:54

平滑着色：亦称连续逃逸时间法，原理如下：
无标题.jpg

简易矩形et-dem扫描平台-光滑法-应用1-M集放大7倍.gsp (64.22 KB)

附件: 简易矩形et-dem扫描平台-光滑法-应用1-M集放大7倍.gsp (2012-3-8 10:54, 64.22 KB) / 下载次数 4020
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16533&k=f125a99c55bddb8c1ca5b768f7d7217d&t=1765209013&sid=9SsTmF

图片附件: 无标题.jpg (2012-3-8 10:59, 14.36 KB) / 下载次数 2251
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16535&k=ce65317cec3fe2e7e624e6af43d9f26c&t=1765209013&sid=9SsTmF

作者: mjj_ljh 时间: 2012-3-8 10:55

三角不等式法着色：原理如下
http://www.inrm3d.cn/viewthread. ... page%3D1&page=7

简易矩形et-dem扫描平台-三角不等式法.gsp (79.77 KB)

附件: 简易矩形et-dem扫描平台-三角不等式法.gsp (2012-3-8 10:55, 79.77 KB) / 下载次数 4147
http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=16534&k=52c0cd7a98a8c97ccccf7b4455914479&t=1765209013&sid=9SsTmF

欢迎光临 inRm3D: 画板论坛 (http://forums.netpad.net.cn/)