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标题: 如何刻画变换：The Mandelbrot set for (1 - z2)/(z - z2cos(z)) + c [打印本页]

作者: 分形几何 时间: 2014-4-9 11:29 标题: 如何刻画变换：The Mandelbrot set for (1 - z2)/(z - z2cos(z)) + c

这是一个不容易作的分形．有什么好的方法呢？

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-9 11:38

其Ｊ集之一：

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-9 11:40

局部放大：

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-9 21:30

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作者: 榕坚 时间: 2014-4-10 10:10

只能弄个大概,顺便找个小乌龟：

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作者: 柳烟 时间: 2014-4-10 11:10

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-10 11:24

5# 榕坚

请问：
你取的临界点值为多少？书上说取共轭临界点．通过变换确定Ｍ集的着色索引值．我还没找到方法．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-10 11:35

6# 柳烟

这是用ＵＦ作的Ｊ集吧？

作者: 分形几何 时间: 2014-4-10 14:14

J集相对来说好作些：

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作者: 榕坚 时间: 2014-4-10 16:13

7# 分形几何

只是按照一般方法做。

作者: 柳烟 时间: 2014-4-11 10:23

我认为此M集的z0应定为一阶导数的零点。

作者: 柳烟 时间: 2014-4-11 10:37

这是z0定位于2.89772，Bailout=76时，UF验证的结果。怪，Bailout值不同，这M集多变。

怎么得不到#1帖图模样呢

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-11 17:35

11# 柳烟

是一阶导数为零的点．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-11 17:37

12# 柳烟

缩小．放大倍数为1.试试看．

作者: 榕坚 时间: 2014-4-11 21:01

starting point

1.54457,0),
center=(5.393607576489552045,0) magn=53110819

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-11 22:33

15# 榕坚

这个位置选得好：

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作者: 柳烟 时间: 2014-4-11 22:48

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作者: 柳烟 时间: 2014-4-11 23:15

定位于-6.24780，得图：

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-14 16:45

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-14 23:16

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作者: 榕坚 时间: 2014-4-15 11:23

这个也挺好玩的：

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-15 13:34

21# 榕坚

榕老师是着重刻画Ｍ集啊．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-15 13:41

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作者: 榕坚 时间: 2014-4-15 16:43

22# 分形几何

J集还做的不对劲，这个M集为什么都是脚印呢，有些不该逃逸的被逃了，得不出项链状？

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作者: 柳烟 时间: 2014-4-15 16:50

大家发图片，建议多给点信息。比如定位中心，放大倍数，迭代公式等等，否则等于猜迷。

作者: 榕坚 时间: 2014-4-15 17:54

25# 柳烟

就是23#的信息。

作者: 榕坚 时间: 2014-4-15 19:09

抹掉了脚印了，这下应该可以解决J集了：

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作者: 榕坚 时间: 2014-4-15 19:50

J集又出问题了，为什么只有一条带子，从原图看上下应该可以无限的：

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-15 20:15

28# 榕坚

检查Ｐ值的算法，逃逸半径的大小设置．

作者: 榕坚 时间: 2014-4-15 20:24

现在可以确定Z的初始点最好应放在：
（1.544565469919501059509，0），当然还有其它的点。

作者: 分形几何 时间: 2014-4-15 20:50

30# 榕坚

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作者: changxde 时间: 2014-4-15 21:11

31# 分形几何
是如何确定的零点？

作者: 榕坚 时间: 2014-4-15 21:33

center=-6.20795603500243296375/0.03794487684220435430785
magn=4*1.1381197E11
初始点：（1.544565469919501059509，0）
缩放倍数：5000
以上位置在UF中得到的图形如下，但在几何画板中却混沌了：

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作者: 柳烟 时间: 2014-4-15 21:58

32# changxde
是这样的，求出Z的导数后，得到Z的函数式，将Z当成实数x，导数看成y，在几何画板中作出y的图象，找出这函数的零点x的值，即为Z的定位点。x的值可让几何画板度量。这样可看到标准的乌龟。此M集零点不止一个。
如果找出的是一个虚数零点，定位于此，则得不到标准的M集。我试过。
不知胡榕二师，是如何找零点的。
切一个图在此：

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作者: 柳烟 时间: 2014-4-15 22:09

23# 分形几何
胡老师的此图片挺诱人，请问sfb是放大倍数，center……这是定位中心，maxiter这是什么？另你此M集的初始值z定位于何处？整了老半天，整不出，急死人了。

作者: 分形几何 时间: 2014-4-15 22:13

maxiter是最大迭代值．我在31＃给出的任一组值都可以．只给出横坐标的纵坐标为零．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-15 22:22

32# changxde

Newton 迭代法．

作者: 柳烟 时间: 2014-4-15 22:32

未命名.JPG

各位，我得到的是这个，调逃逸半径整过来整过去，再调大，浑沌了，再调小，没有图了。猜不透信息。大家说话，有点留半截吐半截的，不太爽快呀，提个意见。

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-15 23:21

33# 榕坚

我的电脑是老电脑运行不了那么大的迭代次数．哪怕是分次也运行不动．如果能运行动的话应该可以．

作者: 榕坚 时间: 2014-4-16 07:22

38# 柳烟
做好该分形的关键是
一、逃逸条件（即p的算法），我曾试过的有一般M集的算法；分式分形的算法；牛顿分形的算法；NOVA分形的算法；当然还有综合以上几种的算法。
二、做M集时注意初始点的选取，当取f'(z)=0的解时可以扫描到经典M集。因为不能得到精确值，那就应该保证精度（小数点后的位数要保证）。实根的话柳老师的方法是可行的，也比较简便。也可以借助其它数学软件。
三、Bailout的值的选择，往往只差一点点效果就完成不一样。
以上只是我自己做该分形的认识，不知是否说到位了，还请胡老师补充。

作者: 分形几何 时间: 2014-4-16 09:50

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作者: 榕坚 时间: 2014-4-16 10:10

41# 分形几何

应该不止迭代80次吧，分次迭代？

作者: 榕坚 时间: 2014-4-16 10:19

接下去看能否做出清晰的边界。

作者: 分形几何 时间: 2014-4-16 11:29

43# 榕坚

迭代次数就是80次，没有用分次迭代，因为迭代次数不需要太大，用分次迭代反而慢了．接着放大可以通过增大色差得到清晰的边界．后面两图足以说明此变换在此中心邻域内的收敛速度相当快．另外从图形上大家也能看到以前作Ｎ集的很熟悉的感觉吧．那种由et着色呈显的等势层．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-16 12:30

主要信息都在图上．baillut=10^-25.

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-16 12:43

25# 柳烟

迭代公式就是标题给的数学变换．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-16 12:47

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-16 13:09

This Mandelbrot set is constructed from two conjugate critical points, and if we let z1 and z2 be the images of these by (1 - z^2)/(z - z^2cos(z)), we have that if c is real and numerical large and belonging to the Mandelbrot set, then z1 + c and z2 + c belong to different Fatou domains for (1 - z^2)/(z - z^2cos(z)) + c, therefore 1/cos(z1 + c) + c and 1/cos(z2 + c) + c belong to different Fatou domains, and if we add a multiple of 2π to c (so that the result still is numerically large), then these two numbers will belong to different Fatou domains. Therefore we can say: it is possible that the Mandelbrot set extends towards infinity in the horizontal direction. It seems really to be the case, as we can see if we draw the Mandelbrot set and zoom out.
The two following pictures show sections of the Julia set for c = -1. The point z = -1 is a fixed point for this iteration, and as the derivative of the function in this point is numerically larger than 1, z = -1 is repelling and belongs therefore to the Julia set. If x is real and numerically very large, the iteration of x is near 1/cos(x) - 1. Therefore, if x* is a real point of the Julia set such that x* - (-1) > 1, we can find a real point of large numerical value that iterates into this point of the Julia set, and this indicates that the Julia set extends towards infinity in the horizontal direction. And as cos(z) grows onentially in the vertical direction, the iteration of a point z of large numerical y-value is very near -1, therefore we can find points of arbitrary large y-values that iterate into -1, so that the Julia set extends towards infinity in the vertical direction.

作者: 榕坚 时间: 2014-4-16 14:45

才放到10^11就混沌了，可惜。看上去与牛顿非常象的。

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作者: 榕坚 时间: 2014-4-16 17:02

项链里找M集就象大海捞针一样的感觉：

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作者: lnszdzg 时间: 2014-4-16 21:31

中心（2.13927640727，-0.3822200522795），放大：209.9125

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作者: lnszdzg 时间: 2014-4-16 21:38

中心（1.678049971855/0.4574842921145），放大272

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作者: lnszdzg 时间: 2014-4-16 21:41

1.520631406805/0.455378185348

作者: lnszdzg 时间: 2014-4-16 22:00

这个正点

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作者: lnszdzg 时间: 2014-4-16 22:01

0.617699083315/0.00023534474395

作者: lnszdzg 时间: 2014-4-16 22:08

0.076168024820405/3.582842645575e-6

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作者: lnszdzg 时间: 2014-4-16 22:15

0.760710042580915095896/9.35561485328335140515e-13

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-16 22:49

这是尝试用48＃的思想作的草图．

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-17 00:01

58# 分形几何

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作者: 榕坚 时间: 2014-4-17 10:26

初步得到了这个分形的边界：

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-17 13:07

60# 榕坚

有点类似于等势线刻画边界的效果．线条的连续性和清晰图还有待于调整．

作者: 柳烟 时间: 2014-4-17 13:36

定位：（0.3117985025205，－0.00002278660723）
放大倍数：3324.6753
初始值：1.544565469919501059509
阀值：8.8
迭代次数：100及以上。

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作者: 柳烟 时间: 2014-4-17 13:54

各参数同上，再扫另一味的：

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-17 16:33

63# 柳烟

这两幅作得不错啊！有点轨迹井的味儿．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-17 18:41

作这个分形发现，内涵丰富，几乎涵盖了以前作过的所有ＭＪＮ集的类型．差不多以前用过的方法用完了还不够使．每一个临界点都会得到一个不同的Ｍ集，局部放大所得到的Ｊ集千姿百态．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-17 19:02

迭代次数为50.如果减小色差，抹平等势圈，会发现周围有极细的侣线．

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作者: 柳烟 时间: 2014-4-17 20:36

此分形确实变化万端，扫出的图千奇百怪，有趣。

作者: 榕坚 时间: 2014-4-17 22:18

61# 分形几何

这与伴侣线类似，很难兼顾两全。

作者: 分形几何 时间: 2014-4-17 22:18

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-18 00:23

68# 榕坚

是的，但这次一定要解决这个问题．困绕我很长时间了．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-18 15:27

下一步先来探索这个区域内的奥秘：

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-18 22:23

71# 分形几何

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-19 11:55

我用的绘图框架：

black.gsp (13.97 KB)

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作者: 柳烟 时间: 2014-4-19 13:21

试玩了一下此N集，里面的小宝宝成堆。初始值定位于二阶导数的零点，好象有四个实零值点，每个都能出现长得标致的小乌龟。

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-19 13:57

74# 柳烟

Ｎ集具有很好的收敛性，作图相对来说容易得多了．Ｍ集的敛散性难确定．

作者: 柳烟 时间: 2014-4-19 14:12

75# 分形几何
确实如此，M集中找小M有点费事。

作者: 分形几何 时间: 2014-4-19 15:22

76# 柳烟

沿着边界找，基本上边界上的每一块里都有．那些细线放大之后，大部分区域里都有．内部更多，但很难作清晰．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-19 15:38

这个分形总体上可以说是经典Ｍ集在不同的区域内被反演成不同的图案．随着复数实部的增加，呈周期性的变化，只不过不是绝对的周期变化．

作者: 柳烟 时间: 2014-4-19 18:47

用maple15计算出一阶导数与二阶导数，各搞出各自的一个零值点，方便大家造复分形。

顺便请教大家一下，二阶导数应有四个零值点，用maple如何算出其余的实零值点？今天初次用这款软件，很多东西云里雾里。

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-19 21:00

79# 柳烟

我所有的计算都是用几何画板完成的．先用牛顿迭代法算出镜相值，绘制出点，然后迭代，度量出终点的坐标，再用高精度数值表示．

作者: 榕坚 时间: 2014-4-19 21:01

这个牛集要想在几何画板中完成可不是易事，250次的迭代就把跑半天。

作者: 榕坚 时间: 2014-4-19 21:05

79# 柳烟
应该不止四个零点，它具有类周期性。

作者: 榕坚 时间: 2014-4-19 21:10

maple、mathematica及mathcad的数值解应该都是用迭代法得到的，都要指定迭代点及精度，才能求得需要的解。

作者: 榕坚 时间: 2014-4-19 21:17

好不容易终于扫完了：

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作者: 分形几何 时间: 2014-4-19 22:22

84# 榕坚

太精彩了！哪个位置的？

作者: 分形几何 时间: 2014-4-19 22:28

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作者: lnszdzg 时间: 2014-4-19 22:55

Mathcad解的方程怎么与maple不同？

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作者: 柳烟 时间: 2014-4-20 00:17

请问123这三个楼帖图如何作，我至今仍作来不对劲，有啥特殊方法吗，我到了网站，满屏英文，翻译出来说啥共轭临界点，这些东西啥意思？

作者: 榕坚 时间: 2014-4-20 07:35

85# 分形几何

这是那个函数的牛集，位置（0.03529，0.01280），放大倍数10^13.

作者: 榕坚 时间: 2014-4-20 07:43

88# 柳烟

你做过nova吧，参考一下。不过得到与1,2,3楼完全一样我也没法办到，因为不知道其参数设置。那网站在哪？

作者: 柳烟 时间: 2014-4-20 08:49

90# 榕坚
http://en.wikibooks.org/wiki/Pic ... _Sets/Print_Version

作者: 分形几何 时间: 2014-4-20 10:08

88# 柳烟

我也没有找到网站上说的方法．只是用自己以前用过的方法尝试着做．二楼那张Ｊ集好做些，是因为Ｊ集的收敛情况比较清晰，也就是迭代结果会收敛于哪些点是固定的，但Ｍ集的收敛清况比较复杂，很少有位置有较快的收敛，有些点看起来迭代序列杂乱无章的．

作者: 榕坚 时间: 2014-4-20 10:42

92# 分形几何
这个分形的重点在逃逸条件的设定，不是都收敛了就是数值超限了。你的逃逸条件挺特殊的。内部能看的那么清楚，是怎么弄的呢？

作者: 分形几何 时间: 2014-4-20 10:46

93# 榕坚

我用迭代序列中第一点与第三点的距离作差计算Ｐ值，其它的都与Ｎ集的作法相同．

作者: 分形几何 时间: 2014-4-20 12:20

84# 榕坚

此图唯一遗憾的是那些连续的线被截断了．这个变换的初始值不是可以取正负１吗？

作者: 分形几何 时间: 2014-4-20 19:14

89# 榕坚

你的临界点取什么值？
我作出来根本就不可能在那个位置会有Ｍ集．

作者: 榕坚 时间: 2014-4-20 19:23

96# 分形几何

1.89788780507284331

作者: 柳烟 时间: 2014-4-20 22:30

28# 榕坚
此图是按N集算的吗，p值如何确定，我干了一整天，整的图差别实在太大。

作者: 榕坚 时间: 2014-4-21 07:28

98# 柳烟

这是原函数的J集，c=-1。p的值按牛集处理。

作者: 分形几何 时间: 2014-4-21 08:30

99# 榕坚

太不可思议了吧？Ｊ集里会出现Ｍ集？如果是真的，你这个图可改变了复变分形的一些基本概念了！能详细说一下到底是怎能么回事吗？

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