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标题: 我的分形学习之路 [打印本页]

作者: xyj200909 时间: 2010-5-23 10:55 标题: 我的分形学习之路

看到坛子上各位老师的分形图案，美的令人震撼，于是下决心学习分形，了解了些知识，稍微知道了几类分形的种类，相信随着研习各位老师的文章和相关的资料，一定会进步的！
（不过感觉几何画板确实不是绘制分形的好工具，如老牛拉破车，太费劲了，好在能让你懂得其中的道理）
开始动工吧...
先做M集，外形有点像乌龟！M集的精彩之处就在于它无穷的，丰富多样的精细结构，所以如果不能对他放大，那么这个像乌龟似的图像没什么可研究的，因此首要的任务就是放大图形，关键是将指定的长度作单位，
具体作法：
S1、在新建的画板中新建参数K，然后计算K*1厘米，把它定义为坐标系单位，以后自己就可以通过更改参数K，来缩放图像了
S2、扫描出较小的M集后（绘制M集的方法在《粗论分形》等有详细的介绍），作一个定位中心的点x0,y0，度量出横纵坐标，如你想放大某处，将此点放置在那里，然后在新建参数dx=0，dy=0，编辑dx=0+x0的坐标，dy=0+dy的坐标，注意，必须是手动输入x0,y0的坐标，然后再修改迭代点的坐标--在其后相应的加上dx，dy；下一步增大K值，调整迭代次数，按绘图开始绘制放大后的图。(本想制作一个迭代坐标随定位点实时而动的工具，但没成功，希望得到其他老师的指点，另外，颜色的处理，也不了解）
S3、几何画板对于迭代次数多时扫描很慢，所以为了便于了解各个地方的细节，可以用别的计算较快的软件先找好位置，在有目的的去用画板绘图，今天发现了一个很小的这样的软件，几秒内就可以绘制好放大的图，但图像太小可以帮我们预览各个细节。
下面对乌龟的头和身子的连接处进行了放大，截取了两幅（颜色不怎么鲜亮，和其他老师的相比，太小儿科了，勿笑！）

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作者: inRm 时间: 2010-5-23 11:43

一上手就有如此成果，羡慕。
最好能把文件或关键公式贴上来，便于我等效仿尾随。

作者: 榕坚 时间: 2010-5-23 11:49

比我刚开始时好了许多。结构清晰而且颜色也感觉不错。

作者: xuefeiyang 时间: 2010-5-23 12:07

其实学习是一个过程，每一个人都有这个过程，每一个人在学习之初，都有点羞怯，总觉得别人会笑话自己，其实有过这种经历的人都有这种感受，怎么会笑话呢？大胆在发表自己的看法和作品，不久的将来，你会和他们一样！相信自己！

作者: xiaongxp 时间: 2010-5-23 16:13

第一份作品就如此强，令人钦佩。

作者: xyj200909 时间: 2010-5-23 17:33

谢谢各位老师的鼓励！
上面没有使用逃逸时间法作图，只是对动点按横标，纵标，和他们的平方和着色，下面这个J集试着用了用，看对否？，把定点C放在原点处了

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作者: xuefeiyang 时间: 2010-5-23 18:21

J集一般不要把点C放在原点处，要不就成了你作的上图，是一个标准的圆！

作者: xyj200909 时间: 2010-5-23 18:41

7# xuefeiyang
飞扬老师，逃逸算法中如果逃出设置的区域，是按总的迭代次数上色还是按当时的次数上色

作者: xyj200909 时间: 2010-5-23 19:06

7# xuefeiyang
嗯，确实太单调了，变一下

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作者: xuefeiyang 时间: 2010-5-23 19:09

8# xyj200909

不能按总的迭代次数着色，否则逃逸区就成了纯色了。这样就相当于背景色了。那要逃逸区还不如不要逃逸区了。

作者: 柳烟 时间: 2010-5-24 08:21

我也是菜鸟,刚学习三四个月,分形确实太引人入胜了.

路漫漫其修远兮,吾将上下而求索.

作者: xyj200909 时间: 2010-5-25 19:14

今天有看了《粗论分形》试着用迭代终点距离的对数函数（对数函数的增长速度是先快后慢，因此从图形中可以看到，中心处的颜色变化快----这个想法有问题，因为距离方也是加速增长的），负指数函数着色（这样迭代终点远的按近的着色，近的按远的着色）
对屏幕点C进行压缩变换，可见，在Z=Z^2+C中，C可以控制外部形变，但基因没变，本质的形状由Z控制

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作者: xyj200909 时间: 2010-5-25 20:50

对飞扬老师的下面讲述进行思考：当屏幕点的迭代终点不存在时，我们把这个屏幕点C当成终点还是原点着色？由于中心是Z，不知这个Z是原点还是屏幕点，这些想法都不对！，迭代缩放中心应是上一个迭代点，即把屏幕点按那个刚好不溢出时的迭代终点看待和着色

给我们提供了一种方法-------只要满足某种条件，即使没有达到迭代次数，也能使其停止，定格在当前迭代次数

【这个满屏绘制的算法原理：前面我们在绘制简易M集时，你会发现中间有很我空白地方没有点，那是因为数值溢出。现在我们想把那些数值溢出的地方也用色彩显示出来，怎么办呢？这需要我们把那些数值溢出的点拉回来，拉到迭代的初始点去。如何实现？对平面内的任意一点c,算出来的复数z^2+c,这样规定，当其模r大于2时，我们用符号函数作一个计算：p=0.5(1-sgn(r-2)),以点z为中心，p为缩放比，将点z^2+c进行缩放。然后隐藏原来的点z^2+c,再进行迭代，注意现在迭代的是缩放后的那个点。其他的不变，这样绘制出来就是满屏图形。注意现在不能再用原来的着色算法了，否则你将会看到一个黑屏！】

作者: xyj200909 时间: 2010-5-25 22:14

用正余弦、和距离方，着色，可见可以利用周期函数实现柱形的，带有立体感的色带

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作者: 柳烟 时间: 2010-5-25 22:42

我觉得楼主朋友现在没必要深究道理，你就按粗论分形里讲的，先熟练造作M集，J集，满屏算法，逃逸时间算法等复变分形，着色可乱作一气，练多了，见多了，听别人说多了，自然道理就明白。我看初论分形帖子时，有些东西我不懂，但是我现在回过头去重新阅读，收获颇大，再加上我坚持实践第一的观点，虽说现在还不敢说登堂入室，总算有了些眉目。我就是这样走过来的。我也是菜鸟，大家共勉。问好楼主。这里的几位分形大手笔都不错，有时吐出的一两句话，让人受益无穷。

作者: xyj200909 时间: 2010-5-26 12:19

15# 柳烟
嗯，有道理，有道是书读百遍，其义自见

作者: xyj200909 时间: 2010-5-26 12:21

满屏作图，文件增大了

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作者: 榕坚 时间: 2010-5-26 14:18

满屏作图，文件增大了
xyj200909 发表于 2010-5-26 12:21

你扫描的图片中逃逸区好象有点怪，内部区域被遮住了一部分，把逃逸半径再加大一些看看。

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作者: xyj200909 时间: 2010-5-27 19:24

多谢指点，把半径写小了，改过了
有时候，迭代次数少也是很好看的，像不成形的胚胎，点C没有和原点合并

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作者: xyj200909 时间: 2010-5-27 19:26

逃逸时间在图上的表现，注意各个边界的刻度，下面第二和第三、第四图分别对应逃逸时间>2，>3，>4的情形，越往中心，屏幕点C对应的逃逸时间越大。最后一个挖掉了et介于3和6之间的部分

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作者: xyj200909 时间: 2010-5-27 22:14

挖掉了势值（迭代终点与原点的距离）介于2和3之间的部分

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作者: xyj200909 时间: 2010-5-27 22:18

颜色始终太暗淡，继续学习

作者: xyj200909 时间: 2010-5-28 21:51

乱扫一气，试着将逃逸时间和终点距离一起用

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作者: xyj200909 时间: 2010-5-29 11:19

乌龟，迭代次数多时，该收敛的收敛，该发散的发散，就拢不住某些点了

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作者: xyj200909 时间: 2010-5-29 19:16

再学飞扬老师的粗论分形，学作了一个小线段的扫描框架

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作者: xyj200909 时间: 2010-5-30 19:20

运用新框架，作了一个另类的j集----λ分形,
图形2的颜色频率高，颜色周期一定，都是0~1，说明着色参数的变化速度快，即颜色变化频率同着色参数变换频率一致，可通过对2拉伸变换，降低频率

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作者: fanqt2004 时间: 2010-6-2 11:01

你好.能不能把你的学习分形过程写出来.让大家学习学习.比如先学什么后学什么,我也想学习分形,但不知从何学起,无从下手

作者: xyj200909 时间: 2010-6-2 12:34

问好朋友。
下棋也好，打球也好，最好和同等程度的一起学习钻研，希望和板友们共同进步！
其实上面记述的就是我学习和研究的过程，在学习时参看了“分形几何”老师的粗论分形，以及搜索查阅了相关的资料
1、分形有多种类型，复数分形M集是其中最简单和最著名的一种，先学习制作最基本的M集（参看粗论分形）
2、学习、研制分形的放大处理
3、学习满屏的处理
4、学习逃逸时间法
5、试验利用逃逸时间和迭代终点与原点距离对屏幕点着色，变形，这是一个长期的积累经验的过程！
6、有了上面的技能和思想，一般的复数分形基本就可以画了
其中，我认为基础的东西有：复数的知识，迭代的技能，符号函数与分段函数的关系，算法思想
在算法知识中，主要的就是条件分支结构和循环结构，而他们的实现在画板上一般利用符号函数和迭代功能来分别实现，
所以先学好符号函数与分段函数，熟练迭代功能的运用

作者: xyj200909 时间: 2010-6-2 12:37

做了个耳环和底部镂空的紫砂盘

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-6-2 17:01

29# xyj200909

耳环有新意！赞一个。最好旋转90度。

作者: xyj200909 时间: 2010-6-2 17:59

30# mjj_ljh

谢谢梅老师的鼓励，你和老向老师，胡老师，榕老师，柳老师等一直我学习的榜样，希望多指导

作者: xiaongxp 时间: 2010-6-2 21:13

29# xyj200909
两图的色彩过渡平滑，特别《耳环》有漆器光感，很好。

作者: xyj200909 时间: 2010-6-2 22:17

用逐步搜索的方法绘制的M集边界

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-3 23:17

试验空间分形，没有成功，弄出个靶子来

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作者: 榕坚 时间: 2010-6-3 23:39

34# xyj200909

好象有点意思了，不错。勇于创新总能成功。

作者: xyj200909 时间: 2010-6-4 11:47

上面的旋转错了，应对C旋转

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-4 20:05

用上面搜索边界作M集的思路用四元数作空间M集，无论怎么旋转，总是断开的组合零件似地图像
不搜索边界，类比平面作M集的思路用正方体区域观察，运行奇慢（需要计算的点太多了），在仅迭代6次的情况下，剥的只剩一层皮，得到的却是一个球
感觉搜索边界的算法不对，而且四元数作图道理和操作方法瞎摸一气

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=4983&k=c91ad74378e909a1f884367306de62d0&t=1784712483&sid=nexe33

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=4984&k=2c1f82c209fe4917ed2552b2c82ef131&t=1784712483&sid=nexe33

作者: xuefeiyang 时间: 2010-6-4 23:58

这个有新意，好好研究一下，我好象在哪里见过有人这样做过！在CGPAD上吧！

作者: xyj200909 时间: 2010-6-10 18:03

修改了下程序，这个没有扫描完，应该是正确的，但太粗糙，且不能去除被遮挡的部分

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http://forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=5136&k=84855f9f4c75df15ebe394e2fb581b96&t=1784712483&sid=nexe33

作者: xyj200909 时间: 2010-6-10 19:42

做出了轨迹点关于xoy平面的对称点及其轨迹，由于运算量太大，故这次只搜索10次，迭代20次，仍然运行很慢，只用Z坐标高度着色，出来这么个东西

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-10 22:15

剥掉4层皮，搜索20次，迭代80次，耗时两小时，做出的球，马上要合拢了

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作者: 分形几何 时间: 2010-6-10 22:22

想想如何改进计算方法，这种运算量太大了！我相信你能行的！实现了就是一种跨越！

作者: xyj200909 时间: 2010-6-10 22:32

合拢的球，由于只扫描了一次，故不能将遮挡的部分完全遮住，仔细看，有些印记
另外由于搜索的方法存在缺陷，造成有的地方形成环状

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作者: 榕坚 时间: 2010-6-11 10:45

这种四元数的方法是用来做三维分形的好方法，只是不明白它的运算律及原理。好象是说选一个面将它投影到这个面上就得三维图形，不知如何操作，不得入门。

作者: xyj200909 时间: 2010-6-11 12:29

这种四元数的方法是用来做三维分形的好方法，只是不明白它的运算律及原理。好象是说选一个面将它投影到这个面上就得三维图形，不知如何操作，不得入门。
榕坚发表于 2010-6-11 10:45

查过很多资料，但都没有相关的介绍，自己瞎摸索，做的这些实际上没有一个成功的，因为和资料上作的不同。再努力
http://www.docin.com/p-44568253.html

作者: xyj200909 时间: 2010-6-11 12:31

想想如何改进计算方法，这种运算量太大了！我相信你能行的！实现了就是一种跨越！
分形几何发表于 2010-6-10 22:22

现在还没有找到正确的办法，好的办法

http://www.docin.com/p-44568253.html

作者: xyj200909 时间: 2010-6-11 22:50

今天将空间M集又做了一遍，这次抛开运算量，针对观察区域内（长方体，实际上我们不必画出来，只需在原来的扫描框中再加上一个线段上的动点，来增进Z坐标）的每个点，但做出来还是个球
后来反复思考，觉得被网上资料http://www.docin.com/p-44568253.html给误导了，上面说Z=a+bi+cj+dk,其中的a是时间维，b,c,d才是空间维，经实践证明是不对的，以至于每次我做出的都是个圆球，个人觉得三维空间的坐标应以四元数中的一个实部a和两个虚部构成，只有这样才和平面的相类似，于是大胆改革，画出来的果然不再是个球，和想象的一样
找对了方向，接下来是改进算法，因为运算量太大了，但用前面的搜索边界的办法不精确，还是逐个点迭代精确，只是怎样设法把内部看不到的、收敛的部分变成无定义的，把外部逃逸的也变成无定义的，从而减少运算量，初步的设想是运用对号函数:x+1/x将二者都变成无穷大

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-6-12 17:15

47# xyj200909

有突破，祝贺，继续努力！

作者: xyj200909 时间: 2010-6-14 18:40

经过试验，用搜索边界的方法没有明显的减负，而且还十分粗糙
只好再扫描空间观察区域的每个点，做个实心的J集，老机器肯定吃不消

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-15 19:27

有时我们不需要迭代很多次

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-15 22:08

增加电脑负荷的很重要的因素是轨迹的采样率

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-16 08:24

选取一个恰当的角度有时很费劲

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作者: 榕坚 时间: 2010-6-16 10:34

可喜可贺，总算有成功了。功夫不负苦心人哪。

作者: 柳烟 时间: 2010-6-16 11:37

学习分形到现在，感觉到是在艰难中找寻希望的亮光。昨晚干一个分形，计算量太大，结果弄来与UF不一样，空耗我两小时时光，今天早晨不死心，又干，结果又不一样，象打胀的氢气球，漏气了。
楼主老师的精神，是我的榜样。

作者: xyj200909 时间: 2010-6-16 17:57

向榕老师和柳老师问好！其实我们都是具有强烈执著精神的人，正是在你们的感召下，进入了分形的学习和研究中。不断地进行大计算量的算法的探索与试验，失败是经常的，但真正的乐趣也就在探索的过程中
现在明白了四元数作图的道理，但还只局限在作实心图上，算法对画板来说不实用，要想给电脑减负，还需要改变算法，尽量只做空间图形的边界，但还要保证其精确性，。。。。。绞尽脑汁啊，经常的受打击，呵

作者: xyj200909 时间: 2010-6-22 16:21

颜色调配始终是让自己头痛的事，今天实验了一下，还算满意

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-23 09:16

试一下昨天调色的效果

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作者: inRm 时间: 2010-6-23 09:28

进步神速，羡慕。

作者: xyj200909 时间: 2010-6-23 11:24

重新作了下最初学习分形时做的图

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-23 16:57

修改了下第二个着色参数，逃逸圈竟然出现了粗细均匀的效果

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-23 22:52

终于扫出了想要的效果

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作者: 柳烟 时间: 2010-6-23 22:56

61# xyj200909
此图绚烂。

作者: xyj200909 时间: 2010-6-24 12:31

前面的几副有点喧宾夺主，过多地突出了逃逸区的色彩，而非逃逸区的颜色却显得平淡，上面的这幅做了改进，符合要求，只是仅仅迭代了600次，亮度低，下面的这个迭代1000次，增加了亮度

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-28 17:35

学习changxde 老师等势线做法做M集，算法较复杂，有待改进

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-1 22:21

用两次迭代的方法寻找M集的周期点，不动点。
可以发现当迭代次数n-m=1数时，图中出现一个无定义的空白点区域；当n-m=2时图中出现两个无定义的空白区域；当n-m=3时，图中出现三个无定义的区域

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-1 22:30

可以设想，当相差6时，会有四个区域，事实确实如此
当然这种空白区域也包括其进一步迭代的区域

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-1 23:06

用上述方法再作以前的门神图，得到下列，内部空白区域为收敛点，周期点或不动点

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-3 22:30

门神图的几种着色

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-4 09:06

仅用一个参数灰度着色，图中的极亮的白色部分表示他们的迭代象的终点溢出，而且溢出的较远（第n-1次迭代象与第n次迭代象的距离超出某个规定的值），黑色区域表示在n次迭代中始终没有溢出（第n-1次迭代象与第n次迭代象的距离为0，对应于逃逸时间为n），灰色区域表示虽然溢出，但溢出的不多（第n-1次迭代象与第n次迭代象的距离没有超过规定的那个值）
下面第二张图是按逃逸时间灰度着色，可以发现，第一张最黑的部分就是第二张最白的部分
第三张是对第一张的改进，光线变得柔和

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-4 18:24

我做的第一个项链：i的三次根牛顿迭代，老师们看看，怎么三个角中没有眼呢？
下面的只用逃逸时间着色，也没有

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-4 22:24

再作牛顿迭代

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-5 13:10

试着对内部着色，造出一个蛋来

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作者: 柳烟 时间: 2010-7-5 16:31

象光滑的石头，漂亮，这种形状的M集我第一次见到，朋友的好多作品善打破常规，让人耳目一新。

作者: xyj200909 时间: 2010-7-5 22:17

由对M集的内部区域着色试验，想到牛顿迭代也是重在描述收敛区域，二者的道理是一样的，不应该用逃逸时间法描述，
改用上面的刻画M集内部的方法（构造的实质同逃逸时间，只不过一个逃逸，一个收敛，当然M集的内部更复杂，不仅仅收敛）

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-5 22:32

下图来源自柳烟老师的P(z) = (z + 1) * (z - 1) * (z - b + a) * (z - b - a)征集，z取0.5时的图像，分形几何雪飞扬老师已做过，今用上述方法试验之

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-6 13:26

将上图中的式子再改一下，初值z=0.5i，再用三参数着色，的下图

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-7 07:00

抓住这个式子不放，多变些花样

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作者: xiaongxp 时间: 2010-7-7 12:09

牛顿分形还是要淡化内外部的逃逸圈、突出边界的“项链”结构为好。

作者: xyj200909 时间: 2010-7-7 18:43

78# xiaongxp
点的好，上面那些有点喧宾夺主了，下面这个应该基本符合要求，稍欠清亮

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作者: 柳烟 时间: 2010-7-7 20:43

楼上这个，不错。

作者: xuefeiyang 时间: 2010-7-7 21:29

这类分形有个比较明显的特征，就是迭代之后，这些迭代象收敛于几个有限点，因此作此类分形最好不要用传统的复变分形的作法，而是用相邻象点之间的距离作为收敛条件的特征值来确定逃逸时间，这样作出来的分形会更清晰明了！

作者: 柳烟 时间: 2010-7-8 07:17

xuefeiyang老师的说法，是制作此类牛集的理论基础，用此制作出来的牛集清晰并漂亮。

作者: xyj200909 时间: 2010-7-8 09:59

说的是，试一下
用推广的牛顿迭代公式再做前面那个图，z=0.5,结果变了

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-8 13:13

上午对牛顿迭代的图调色，仍无果，暂停

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-14 20:26

总结对着色的认识
着色是利用数学知识，为了达到某个效果，突出表现迭代式子的某个方面的性质，或者以迭代象为奠基，加进一些数学变换，达到原迭代象中无法表现的效果，这就好比开发一块美玉，施加我们的雕琢技法，根据材质本身的特点，加进我们的想象，制作出精美的作品来
着色的风格有多种，可以是古朴的，可以是鲜艳的
着色中的两种三参数着色，无论是那一种，如果想让图像色彩光鲜，必须让三个参数是变数，而且是相互独立的，即他们之间没有函数变换关系，否则，实质是两个参数甚至是一个参数，这样的色彩是静止的，与其暗淡还不如一个参数着色的效果好

作者: xyj200909 时间: 2010-7-14 21:03

对牛顿分形的认识
牛顿分形是一中推广的M集或J集，是我们给屏幕点找了个“寻根”的活干，如果作为参数，得到的是M集，如果作为变量，得到的是J集，而我们评价他们活干的好孬的方法大多是看他们干活的快慢，看谁先找到近似根，这种方法就是逃逸时间的思想方法，当然我们还可以采用其他的标记方法，如迭代象的位置参数等
容易看到，逃逸时间为零的部分，就是率先找到根的那些屏幕点集，而我们熟悉的项链，实际上逃逸时间都很大，即历经n次迭代后刚刚地找到根，甚至一直没有找到根，所以，我们的项链实际上多数是些无家可归的“流浪汉”

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作者: xuefeiyang 时间: 2010-7-15 17:56

终于看到一个浮出分形这条河的人了！作为数学专业的人玩分形，如果不从数学的角度去总结分形，那就与一般的玩家没有什么区别了。我们更应该注意的是分形的数学本质而不能仅仅停留在对那些那些艳丽的图形的欣赏与陶醉里。爱美之心人皆有之，但天下“美女”无数，细细想想其之所以能够吸引人的也就那么几点，想通了就不会误入“藕花深处”了！

作者: xyj200909 时间: 2010-7-15 18:40

87# xuefeiyang
分形老师说的是，有些东西不弄明白，心里总不痛快，但明白是需要过程的，自从第一次向你请教M集的迭代本质，到现在，虽然明白了些分形知识，但仍有很多没悟透，而且随着和老师们学习交流，问题越来越多，呵

作者: xyj200909 时间: 2010-7-20 18:26

对于牛顿迭代，如果迭代了n次仍然没找到符号精度的根，则屏幕上什么图案也没有，这时可设法提高收敛的速度
如果着色的各个数据在某个值附近作微小的变动，则可用数学变换增大这种变动的幅度

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作者: inRm 时间: 2010-7-20 22:49

含苞之花2，才叫漂亮

作者: xyj200909 时间: 2010-7-26 17:34

对屏幕点的变换，以及对“象”的变换对图像的形状也起到重要作用
变换所用的函数对图像产生什么影响值得一试
下图是在M集中对屏幕点实施C---C^(-2)后的图

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作者: math 时间: 2010-7-26 18:00

91# xyj200909

这个嘴巴很漂亮。

作者: xyj200909 时间: 2010-8-1 19:55

对逃逸边界乱变一气

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作者: inRm 时间: 2010-8-1 22:05

飞扬的彩球，竟是分形之作，不可思议啊

作者: 柳烟 时间: 2010-8-24 14:41

17# xyj200909
这组M集之所以不太完备，主要是点Z的定位造成的。造好后，再描绘一个点（0，0），将此点与Z合并，就没问题，如果是直接将Z合并到原点，则鸟龟的头上的长针变短，就象这组图。如果将Z移动到原原点，则正常。我今天造M集，结果出了楼主同样的问题，查了老半天，找着原因了。
这是非正常的M集

这是正常的M集

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作者: myzam 时间: 2012-10-22 12:31

45# xyj200909
四元数属于群论的内容，你要在群论里面找才可以找到，全称叫Hamilton（哈密尔顿）四元数，是哈密尔顿座在马车上突然想起的。其实就是1，i，j，k运算要构成群，运算规则可以自己定义，只要构成群就可以。

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